Начну с пары определений, без знания которых дальнейшее рассмотрение вопроса будет бессмысленным.
Сопротивление, которое оказывает тело при попытке привести его в движение или изменить его скорость, называется инертностью.
Мера инертности – масса .
Таким образом можно сделать следующие выводы:
Резюмируя можно сказать, что инертность тела противодействует попыткам придать телу ускорение. А масса служит показателем уровня инертности. Чем больше масса, тем большую силу нужно применить для воздействия на тело, чтобы придать ему ускорение.
Замкнутая система (изолированная) – система тел, на которую не оказывают влияние другие тела не входящие в эту систему. Тела в такой системе взаимодействуют только между собой.
Если хотя бы одно из двух условий выше не выполняется, то систему замкнутой назвать нельзя. Пусть есть система, состоящая из двух материальных точек, обладающими скоростями и соответственно. Представим, что между точками произошло взаимодействие, в результате которого скорости точек изменились. Обозначим через и приращения этих скоростей за время взаимодействия между точками . Будем считать, что приращения имеют противоположные направления и связаны соотношением . Мы знаем, что коэффициенты и не зависят от характера взаимодействия материальных точек — это подтверждено множеством экспериментов. Коэффициенты и являются характеристиками самих точек. Эти коэффициенты называются массами (инертными массами). Приведенное соотношения для приращения скоростей и масс можно описать следующим образом.
Отношение масс двух материальных точек равно отношению приращений скоростей этих материальных точек в результате взаимодействия между ними.
Представленное выше соотношение можно представить в другом виде. Обозначим скорости тел до взаимодействия как и соответственно, а после взаимодействия — и . В этом случае приращения скоростей могут быть представлены в таком виде — и . Следовательно, соотношение можно записать так — .
Импульс (количество энергии материальной точки) – вектор равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости —
Импульс системы (количество движения системы материальных точек) – векторная сумма импульсов материальных точек, из которых эта система состоит — .
Можно сделать вывод, что в случае замкнутой системы импульс до и после взаимодействия материальных точек должен остаться тем же — , где и . Можно сформулировать закон закон сохранения импульса.
Импульс изолированной системы остается постоянным во времени, независимо от взаимодействия между ними.
Необходимое определение:
Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.
Формулировка закона сохранения энергии:
В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
Потенциальная энергия материальной точки является функцией только координат этой точки. Т.е. потенциальная энергия зависит от положения точки в системе. Таким образом силы , действующие на точку, можно определить так: можно определить так: . – потенциальная энергия материальной точки. 
Помножим обе части на и получим 
. Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии
. 
Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.
Два шара , с и испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом. По закону сохранения импульса . Отсюда можно выразить скорость двух шаров, двигающихся после соударения как единое целое — 
. Кинетические энергии до и после удара: 
и 
. Найдем разность
,
где – приведенная масса шаров . Отсюда видно, что при абсолютно неупругом столкновении двух шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения. Эта потеря равна половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.
Импульс - это физическая величина, которая в определенных условиях остается постоянной для системы взаимодействующих тел. Модуль импульса равен произведению массы на скорость (p = mv). Закон сохранения импульса формулируется так:
В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел остается постоянной, т. е. не изменяется. Под замкнутой понимают систему, где тела взаимодействуют только друг с другом. Например, если трением и силой тяжести можно пренебречь. Трение может быть мало, а сила тяжести уравновешиваться силой нормальной реакции опоры.
Допустим, одно движущееся тело сталкивается с другим таким же по массе телом, но неподвижным. Что произойдет? Во-первых столкновение может быть упругим и неупругим. При неупругом столкновении тела сцепляются в одно целое. Рассмотрим именно такое столкновение.
Поскольку массы тел одинаковы, то обозначим их массы одинаковой буквой без индекса: m. Импульс первого тела до столкновения равен mv 1 , а второго равен mv 2 . Но так как второе тело не движется, то v 2 = 0, следовательно, импульс второго тела равен 0.
После неупругого столкновения система из двух тел продолжит двигаться в ту сторону, куда двигалось первое тело (вектор импульса совпадает с вектором скорости), а вот скорость станет в 2 раза меньшей. То есть масса увеличится в 2 раза, а скорость уменьшится в 2 раза. Таким образом, произведение массы на скорость останется прежним. Разница только в том, что до столкновения скорость была в 2 раза больше, но масса была равна m. После столкновения масса стала 2m, а скорость в 2 раза меньше.
Представим, что неупруго сталкиваются два тела, движущихся навстречу друг другу. Векторы их скоростей (также как и импульсов) направлены в противоположные стороны. Значит, модули импульсов надо вычитать. После столкновения система из двух тел продолжит двигаться в ту сторону, куда двигалось тело, обладающее большим импульсом до столкновения.
Например, если одно тело было массой 2 кг и двигалось со скоростью 3 м/с, а другое - массой 1 кг и скоростью 4 м/с, то импульс первого равен 6 кг · м/с, а импульс второго равен 4 кг · м/с. Значит, вектор скорости после столкновения будет сонаправлен с вектором скорости первого тела. А вот значение скорости можно вычислить так. Суммарный импульс до столкновения был равен 2 кг · м/с, так как векторы разнонаправлены, и мы должны вычитать значения. Таким же он должен остаться и после столкновения. Но после столкновения масса тела увеличилась до 3 кг (1 кг + 2 кг), значит из формулы p = mv следует, что v = p/m = 2/3 = 1,6(6) (м/с). Мы видим, что в результате столкновения скорость уменьшилась, что согласуется с нашим житейским опытом.
Если два тела движутся в одну сторону и одно из них нагоняет второе, толкает его, сцепляясь с ним, то как изменится скорость этой системы тел после столкновения? Допустим, тело массой 1 кг двигалось со скоростью 2 м/с. Его догнало и сцепилось с ним тело массой 0,5 кг, двигающееся со скоростью 3 м/с.
Так как тела двигаются в одну сторону, то импульс системы этих двух тел равен сумме импульсов каждого тела: 1 · 2 = 2 (кг · м/с) и 0,5 · 3 = 1,5 (кг · м/с). Суммарный импульс равен 3,5 кг · м/с. Он должен сохраниться и после столкновения, но масса тела здесь будет уже 1,5 кг (1 кг + 0,5 кг). Тогда скорость будет равна 3,5/1,5 = 2,3(3) (м/с). Эта скорость больше, чем скорость первого тела, и меньше, чем скорость второго. Это и понятно, первое тело подтолкнули, а второе, можно сказать, столкнулось с препятствием.
Теперь представим, что два тела изначально сцеплены. Некая равная сила расталкивает их в разные стороны. Каковы будут скорости тел? Поскольку для каждого тела применена равная сила, то модуль импульса одного должен быть равен модулю импульса другого. Однако векторы разнонаправлены, поэтому при их сумма будет равна нулю. Это и правильно, т. к. до разъезжания тел их импульс был равен нулю, ведь тела покоились. Так как импульс равен произведению массы на скорость, то в данном случае понятно, что чем массивнее тело, тем меньше будет его скорость. Чем легче тело, тем больше будет его скорость.
Каталог заданий.
Закон сохранения импульса, второй закон Ньютона в импульсной форме
Кубик массой m движется по гладкому столу со скоростью и налетает на покоящийся кубик такой же массы. После удара кубики движутся как единое целое без вращений, при этом:
1) скорость кубиков равна
2) импульс кубиков равен
3) импульс кубиков равен
Решение.
На систему не действует никаких внешних сил, следовательно, выполняется закон сохранения импульса. До столкновения один кубик скользил со скоростью а второй — покоился, значит, полный импульс системы по модулю был равен
Таким он останется и после столкновения. Следовательно, утверждение 2 верно. Покажем, что утверждения 1 и 4 ложны. Используя закон сохранения импульса, найдем скорость совместного движения кубиков после столкновения: Следовательно, скорость кубиков а не Далее, находим их кинетическую энергию: Ответ: 2.
Ответ: 2
и почему после равно не 2mU?
Алексей (Санкт-Петербург)
Добрый день!
Исправил, спасибо.
В выделенной строчке не записывается закон сохранения импульса, там просто подсчитывается импульс до столкновения.
Гость
17.05.2012 18:47
4) кинетическая энергия кубиков равна
мне кажеться что это некорректный ответ
По закону сохранения энергии E1=E2, где E1- энергия в самом начале, E2-
энергия в конце. E2=E"+E", где E"- энергия 1ого кубика, E" - энергия 2ого кубика.Нам требуется найти кин. энергию кубиков. Значит нужно найти сумму кин. энергий каждого кубика, т.е. E"+E". А E"+E"= m(v^2)/2 по закону сохранения энергии. значит и 2 и 4 ответ будут являться правильными.
Поэтому следует изменить ответ следующим образом: 4)кинетическая энергия каждого кубика равна
Алексей (Санкт-Петербург)
Добрый день!
Так как столкновение абсолютно неупругое, кинетическая энергия не сохраняется. Часть кинетической энергии первого кубика переходит в кинетическую энергию совместного движения кубиков, остальная энергия переходит в их внутреннюю энергию (кубики нагреваются).
Александр Сербин (Москва)
13.10.2012 20:26
Некорректная задача, непонятно что именно спрашивают. Импульс до взаимодействия или после?
Алексей (Санкт-Петербург)
Добрый день!
Импульс сохраняется для данной системы.
Гость
15.11.2012 15:26
Добрый день!
Почему после удара, импульс равен mv, а не 2mv, ведь после столкновения они движутся как единое целое(значит их масса равна 2m)?
Алексей (Санкт-Петербург)
Добрый день!
Все верно, масса равна , но скорость то теперь не . Правильный ответ получается после использования закона сохранения импульса.
Гость
19.12.2012 16:30
А чему будет равна их скорость после удара?
Алексей (Санкт-Петербург)
Добрый день!
Из закона сохранения импульса скорость после удара равна
Маятник массой m проходит точку равновесия со скоростью Через половину периода колебаний он проходит точку равновесия, двигаясь в противоположном направлении с такой же по модулю скоростью Чему равен модуль изменения импульса маятника за это время?
Решение.
Через половину периода проекция скорости маятника меняется на противоположную и становится равной Следовательно, модуль изменения импульса маятника за это время равен
Ответ: 3.Ответ: 3
Я не понял, почему оба импульса имеют знак минус, если в условии сказано, что маятник поменял направление. Знаки же должны быть разные... да и потом если скорости по модулю массы одинаковы в обоих случаях, то изменение должно быть равно 0
Алексей (Санкт-Петербург)
Добрый день!
Минус в скобочка означает противоположный знак проекции, а второй минус - вычитает из конечного импульса начальный.
Модуль импульса не изменился, поэтому изменение модуля импульса равно нулю. А вот направление импульса поменялось на противоположное, поэтому модуль изменения импульса уже отличен от нуля.
Гость
24.01.2013 18:50
в условии написано что скорость 2го равна скорости 1го по модулю. То есть скорость 1го v, а скорость 2го [-v] (минус в по модулю).
имеем -mv]==0
если не так, прошу объяснить почему.
Алексей (Санкт-Петербург)
Добрый день!
Не так, именно поэтому в решении написано иначе))
Слова "с такой же по модулю скоростью " означают, что скорость тела не изменяется по величине. Нас спрашивают в задаче не про изменение модуля, а про модуль изменения. Это разные вещи. Направлении тела изменяется на противоположное, поэтому модуль изменения импульса не равен нулю.
Гость
25.01.2013 09:58
Мне кажется, что в задании серьёзный недочёт.
Чему равна скорость поезда? 10 км/ч. Скорость поезда это модуль вектора скорости, модуль вектора не может быть отрицательным, т.к. это его длина; отрицательной может быть только его проекция на координатную прямую.
В этой задаче надо найти модуль изменения импульса маятника, т.е. изменение импульса маятника взятое без знака. Импульс это вектор, и по аналогии со скоростью и другими векторными величинами (ускорение, сила) само слово "импульс" означает модуль вектора. Т. к. здесь ничего не говорится про проекцию, получается что нас просят найти "изменение модуля вектора импульса", или "длину вектора импульса", а эта величина равна нулю (вектор поменял направление, но длина осталась прежней; изменилась только проекция на ось x).
Именно по этой причине я выбрал четвёртый ответ, при том что прекрасно знаю физику.
Алексей (Санкт-Петербург)
Добрый день!
Слово "импульс" - обозначает физическую величину "импульс", который, как Вы верно заметили, является вектором. Ваш пример с поездом - это пример жаргона. Когда задается такой вопрос, все понимают, что подразумевается модуль вектора, то есть величина скорости. Точно также, можно на вопрос: "Сколько весит это тело?". Дать ответ: "1 кг", понимая, что нас спрашивают скорее всего все-таки про массу, а не про силу.
Так что никаких проблем с формулировкой нет. Есть импульс, он изменяется. Изменение вектора так же является вектором. Соответственно, модуль изменения импульса есть длина вектора равного разности конечного и начального векторов.
Маятник массой m проходит точку равновесия со скоростью Через четверть периода колебаний он достигает точки максимального удаления от точки равновесия. Чему равен модуль изменения импульса маятника за это время?
Решение.
Через четверть периода, когда маятник достигает точки максимального удаления, его скорость обращается в ноль. Следовательно, модуль изменения импульса маятника за это время равен
Ответ: 2.Ответ: 2
Две тележки движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями Массы тележек m и 2m . Какой будет скорость движения тележек после их абсолютно неупругого столкновения?
Решение.
Для тележек выполняется закон сохранения импульса, поскольку на систему не действует никаких внешних сил в горизонтально направлении:
Отсюда находим скорость тележек после абсолютно неупругого удара: Ответ: 4.
Ответ: 4
Алексей (Санкт-Петербург)
Добрый день!
Вы не совсем верно переписали строчку из решения. Так что поясню еще раз то, что написано в решении.
Эта формула — закон сохранения импульса, спроектированный на горизонтальную ось направленную вдоль вектора более тяжелой тележки.
Пусть вектор скорости тяжело тележки равен , тогда скорость легкой тележки равна, по условию, . Полный импульс системы до столкновения: . Обозначим вектор скорости после столкновения через , тогда импульс двух тележек после удара .
Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно также с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу. Если массы шаров m 1 и m 2 , их скорости до удара , то, используя закон сохранения импульса, можно записать:
Если шары двигались навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае – если массы и скорости шаров равны, то
Выясним, как меняется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии (диссипация энергии ). Эту «потерю» можно определить по разности кинетических энергий до и после удара:
.
Отсюда получаем:
 |
(5.6.3) |
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (υ 2 = 0), то
Когда m 2 >> m 1 (масса неподвижного тела очень большая), то и почти вся кинетическая энергия при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка.
Когда тогда и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение, а не на остаточную деформацию (например, молоток – гвоздь).
Абсолютно неупругий удар – пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.
Закон сохранения энергии позволяет рецдать механические задачи в тех случаях, когда почему-либо неизвестны действующие на тело хилы. Интересным примером именно такого случая является столкновение двух тел. Этот пример особенно интересен тем, что при его анализе нельзя обойтись одним только законом сохранения энергии. Нужно привлечь еще и закон сохранения импульса (количества движения).
В обыденной жизни и в технике не так уж часто приходится иметь дело со столкновениями тел, но в физике атома и атомных частиц столкновения - очень частое явление.
Для простоты мы сначала рассмотрим столкновение двух шаров массами из которых второй покоится, а первый движется по направлению ко второму со скоростью Будем считать, что движение происходит вдоль линии, соединяющей центры обоих шаров (рис. 205), так что при столкновении шаров имеет место так называемый центральный, или лобовой, удар. Каковы скорости обоих шаров после столкновения?
До столкновения кинетическая энергия второго шара равна нулю, а первого . Сумма энергий обоих шаров составляет:
После столкновения первый шар станет двигаться с некоторой скоростью Второй шар, скорость которого была равна нулю, также получит какую-то скорость Поэтому после столкновения сумма кинетических энергий двух шаров станет равной
По закону сохранения энергии эта сумма должна быть равна энергии шаров до столкновения:
Из этого одного уравнения мы, конечно, не можем найти две неизвестные скорости: Вот тут-то на помощь и приходит второй закон сохранения - закон сохранения импульса. До столкновения шаров импульс первого шара был равен а импульс второго - нулю. Полный импульс двух шаров был равен:
После столкновения импульсы обоих шаров изменились и стали равными а полный импульс стал
По закону сохранения импульса полный импульс при столкновении измениться не может. Поэтому мы должны написать:
Так как движение происходит вдоль прямой, то вместо векторного уравнения можно написать алгебраическое (для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара):
Теперь мы имеем два уравнения:
Такую систему уравнений можно решить и найтн неизвестные скорости их и шаров после столкновения. Для этого перепишем ее следующим образом:
Разделив первое уравнение на второе, получим:
Решая теперь это уравнение совместно со вторым уравнением
(проделайте это самостоятельно), найдем, что первый шар после удара будет двигаться со скоростью
а второй - со скоростью
Если оба шара имеют одинаковые массы то Это значит, что первый шар, столкнувшись со вторым, передал ему свою скорость, а сам остановился (рис. 206).
Таким образом, пользуясь законами сохранения энергии и импульса, можно, зная скорости тел до столкновения, определить их скорости после столкновения.
А как обстояло дело во время самого столкновения в тот момент, когда центры шаров максимально сблизились?
Очевидно, что в это время они двигались вместе с некоторой скоростью . При одинаковых массах тел их общая масса равна 2т. По закону сохранения импульса во время совместного движения обоих шаров их импульс должен быть равен общему импульсу до столкновения:
Отсюда следует, что
Таким образом, скорость обоих шаров при их совместном движении равна половине
скорости одного из них до столкновения. Найдем кинетическую энергию обоих шаров для этого момента:
А до столкновения общая энергия обоих шаров была равна
Следовательно, в самый момент столкновения шаров кинетическая энергия уменьшилась вдвое. Куда же пропала половина кинетической энергии? Не происходит ли здесь нарушения закона сохранения энергии?
Энергия, конечно, и во время совместного движения шаров осталась прежней. Дело в том, что во время столкновения оба шара были деформированы и поэтому обладали потенциальной энергией упругого взаимодействия. Именно на величину этой потенциальной энергии и уменьшилась кинетическая энергия шаров.
Задача 1. Шар, имеющий массу равную 50 г, движется со скоростью и сталкивается с неподвижным шаром, масса которого Каковы скорости обоих шаров после столкновения? Столкновение шаров считать центральным.
