Характеристические параметры четырехполюсников

1.4 Частотные характеристики четырехполюсников

Пассивный четырехполюсник представляет собой электрическую цепь, внутри которой имеется соединение элементов r , L и C . Цепь имеет две пары зажимов: к первичным зажимам подсоединяется источник энергии (тока или напряжения), к вторичным зажимам - нагрузка, под которой в общем случае понимают пассивный или активный двухполюсник с известными вольтамперными характеристиками. На рис.1.1б изображена комплексная схема замещения четырехполюсника; на ней указаны токи и напряжения входных и выходных зажимов в виде комплексных переменных. Также как и в двухполюснике, связь между этими переменными может быть определена через частотные характеристики четырехполюсника:

1. Входное сопротивление четырехполюсника

3. Коэффициент передачи по напряжению

4. Коэффициент передачи по току

6. Передаточная проводимость

Все эти формулы определяют причинно-следственную связь между заданным входным воздействием и реакцией цепи в виде тока или напряжения на входных или выходных зажимах. Также как и в двухполюсниках, все частотные характеристики не зависят от величин токов и напряжений, а определяются только параметрами элементов цепи и способом соединения ветвей. Они могут быть найдены опытным или расчетным путем. Все указанные выше характеристики называют внешними характеристиками четырехполюсника.

Некоторые из характеристик представляют собой частотную зависимость безразмерной величины, если сопоставляются колебания одной физической природы (напряжения с напряжением или тока с током), либо величины, имеющие размерность сопротивления [Ом] или проводимости [См]. Фазо-частотная характеристика - ФЧХ представляет собой зависимость разности фаз двух гармонических колебаний безотносительно к их физической природе. Эта разность может измеряться в градусах или в радианах.

1. Задаться произвольным значением или на входе (обобщенная функция ).

3. Взять отношение выходного значения к входному. Входное значение при этом сокращается, получившееся выражение будет комплексной передаточной функцией, которую в общем случае обозначают буквой H (j ω).

4. Получившееся комплексное выражение записать в показательной форме, для чего следует использовать формулы перехода от алгебраической формы записи комплексного выражения к показательной и обратно:

5. Сравнивая отдельно модули и фазы, выделить АЧХ и ФЧХ передаточной функции:

АЧХ передаточной функции;(1.18)

- ФЧХ передаточной функции.(1.19)

6. Изменяя значение переменной от 0 до бесконечности рассчитать и построить графики функций H (ω) и θ(ω). Целесообразно данные расчетов свести в таблицу, которую в дальнейшем можно использовать для анализа прохождения электрических сигналов через четырехполюсник.

Пример 1.5. Найти коэффициент передачи по току для цепи, представленной на рис.1.2. Рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи.

В рассматриваемой задаче в качестве выходного тока следует найти ток в индуктивности L (ток ) по входному току источника . Используя правило деления тока на части в двух параллельно соединенных ветвях, найдем комплекс тока :

Поделив полученное выражение на , найдем коэффициент передачи по току

Окончательно запишем выражения для АЧХ и ФЧХ как функции обобщенной переменной Ω = ωL / r

Графики найденных функций можно строить в зависимости от переменной ω , если известны численные значения параметров цепи r и L , или строить их в зависимости от обобщенной переменной Ω .

На рис.1.11a,б построены эти графики, физический смысл которых очевиден: при малых значениях ω выполняется условие ω L << r , и ток источника тока будет преимущественно протекать в индуктивности, т.е. будет стремиться к единице. На большой частоте, при выполнении условия ω L >> r , ток источника будет в основном протекать в сопротивлении r , а доля тока в индуктивности будет уменьшена, т.е. будет стремиться к нулю.

а) б)

Рис.1.11. Частотные характеристики четырехполюсника для коэффициента передачи тока К i : а)АЧХ для К i ; б) ФЧХ для К i

Задача решена.

Пример 1.6. Для цепи, представленной на рис.1.12а найти коэффициент передачи по току . Рассчитать и построить графики функций АЧХ и ФЧХ в зависимости от относительной частоты [рад].

а) б)

Рис.1.12. Схема RC цепи: а)исходная схема; б)комплексная схема

На рис.1.12б представлена комплексная схема замещения исследуемой цепи. Используя правило деления тока на части, найдем ток в емкостном

сопротивлении Z c = 1/ j w C

,

откуда

Сравнивая модули и аргументы, получим

Графики функций и имеют такой же вид что и графики, изображенные на рис.1.3 при условии, что r = 1 Ом. Переход к реальной переменной ω осуществляется по формуле Ω = rC ω, где произведение rC измеряется в секундах [с], если r в омах [Ом], а С в фарадах [Ф].

По сравнению с предыдущей задачей здесь с ростом частоты имеет место увеличение тока в емкости, что обеспечивает стремление к единице коэффициента передачи .

Задача решена.

В общем случае, когда схема соединений элементов в цепи достаточно сложная, четырехполюсник описывают четырьмя комплексными пара-метрами, которые связывают между собой входные переменные , с выходными , . Самой распространенной формой записи этой связи являются А - параметры. Эту связь записывают в виде линейного преобразования переменных в алгебраической или в матричной форме

где комплексные коэффициенты , , и зависят как от величин всех r , L , С элементов цепи, так и от способа соединения ветвей (топологии цепи). Все эти комплексные параметры независимо от сложности схемы цепи могут быть найдены опытным путем:

,

что означает режим холостого хода на выходе (), а также

что означает режим короткого замыкания на выходе ().

Для постановки опыта достаточно иметь два вольтметра, два амперметра и прибор, например, двухлучевой осциллограф, с помощью которого можно измерить угол сдвига фаз между двумя сигналами синусоидальной формы.

Если схема четырехполюсника известна, то эти коэффициенты могут быть найдены расчетным путем, используя законы Ома и Кирхгофа, метод контурных токов или узловых потенциалов, а также простейшие преобразования цепи. Все эти методы предполагают постановку и решение прямой задачи электротехники, т.е. произвольное задание источника энергии на входных зажимах и последующий поиск тока или напряжения в ветви, присоединенной к выходным зажимам .Однако существует метод непосредственного определения частотных характеристик четырехполюсника по известным А параметрам четырехполюсника, о чем будет сказано ниже. Рассмотрим примеры определения А параметров простейших четырехполюсников.

Пример 1.7. Определить А параметры "продольного" звена, обра-зованного эквивалентным комплексным сопротивлением Z (рис.1.13а).

а) б)в)

Рис.1.13. Схема простейших четырехполюсников: а)продольное звено; б)поперечное звено; в)Г-образное звено

Для более сложных цепей есть возможность разбиения исходной цепи на группу каскадно соединенных звеньев. Каскадным называется такое соединение двух и более четырехполюсников, когда выходные зажимы предыдущего четырехполюсника соединяются с входными зажимами последующего (см. рис.1.14).

Рис.1.14. Каскадное соединение четырехполюсников: а)соединение двух четырехполюсников; б)результирующий четырехполюсник

Известно правило объединения матриц каскадно соединенных четырехполюсников: при каскадном соединении перемножаются матрицы А параметров, и задача исследователя заключается в разбиении исходной цепи на группу простейших каскадно соединенных четырехполюсников с известными А параметрами.

Метод основан на известном правиле линейной алгебры умножения строк первой матрицы на столбцы второй:

Если число каскадно соединенных звеньев больше двух, то следует перемножать матрицы в той последовательности, в которой стоят четырехполюсники, помня о том, что перемножение матриц обладает сочетательным свойством, но не коммутативно, т.е. .

Пример 1.9 . Найти А параметры Г - образного звена, образованного каскадным соединением "поперечного" и "продольного" звена (рис.1.13в).

При решении этой задачи уже может быть использован метод перемножения А матриц, где на первом месте должна стоять матрица поперечного звена, а на втором - продольного.

Задача решена.

Пример 1.10. Найти А параметры обратного к Г - образному звену, образованному каскадным соединением "продольного" и "поперечного" звена(рис.1.15).

По сравнению с предыдущей задачей следует поменять местами перемножаемые матрицы:

Из сравнения выражений (1.23) и (1.24) видим, что результирующие матрицы отличаются друг от друга только заменой элементов А 11 на А 22 и

наоборот.

Рис.1.15. Каскадное соединение продольного и поперечного звена

Свойства четырехполюсника, кроме коэффициентов уравнений, описываются еще тремя характеристическими параметрами. К ним относятся: характеристическое сопротивление со стороны входных зажимов Z С1 , характеристическое сопротивление со стороны выходных зажимов Z С2 и характеристическая постоянная передачи Г = а + jв.

Если подключить к выходным зажимам сопротивление нагрузки Z Н2 = Z С2 , то входное сопротивление со стороны выходных зажимов Z ВХ1 = Z С2 (рис. 1.7, а). И, наоборот, при подключении к входным зажимам сопротивления Z Н1 = Z С1 , входное сопротивление со стороны выходных зажимов Z ВХ2 = Z С2 (рис. 1.7, б). Такие режимы называются режимами согласованной нагрузки.

Рис. 1.7 Режимы согласованной нагрузки при прямой и обратной передаче

Постоянная передачи Г = а + jв определяется в режиме согласованной нагрузки и характеризует энергетические соотношения на входе и выходе четырехполюсника:

где а – коэффициент затухания (ослабления), измеряется в неперах (Нп);

в – коэффициент фазы, измеряется в радианах (рад).

Для симметричного четырехполюсника Z С1 = Z С2 и

Затуханию в 1 Нп соответствует уменьшение амплитуд напряжения (или тока) в е=2,718 раз. Коэффициент фазы согласно (1.19) равен разности фаз напряжений на входе и выходе.

Коэффициент затухания может измеряться в белах (Б) или децибелах (дБ). Затуханию в 1 дБ соответствует уменьшение полной мощности в 1,26 раза или уменьшение напряжения (тока) в 1,12 раза:

Для симметричного четырехполюсника затухание в децибелах

Соотношение единиц: 1 Нп = 8,686 дБ; 1 дБ = 0,115 Нп.

Характеристические параметры можно определить через А – параметры и сопротивления холостого хода и короткого замыкания:

Для симметричного четырехполюсника

П р и м е р 1. 6

А – параметры несимметричного четырехполюсника известны: А = 1 – j 0,5; В = 5 – j 10 Ом; С = -j 0,05 См; D = 0,5.

Определить характеристические параметры: Z C , Z C2 , Г = а + jв.

По формулам (1.20) находим:

а = 0,241 Нп;

Входное сопротивление четырехполюсника при произвольной нагрузке

Входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1 – 1" при любой нагрузке на выходных зажимах можно определить через А – параметры непосредственно из уравнений (1.9):

Следовательно, при согласованной нагрузке (Z Н = Z C2)

При нагрузке со стороны зажимов 1 – 1" Z Н,= Z С1 , входное сопротивление со стороны зажимов 2 – 2"

Схемы включения четырехполюсников

При различных соединения четырехполюсников используются формы [А], [Z], [Y] и [Н].

Каскадное соединение

Рис. 1.8. Каскадное соединение

При каскадном соединении четырехполюсников (рис.1.8) матрица [А] всего соединения равна произведению матриц отдельных звеньев.

Последовательное соединение

Рис. 1.9. Последовательное соединение

Уравнения записываются в Z – параметрах, причем матрицы суммируются

Параллельное соединение

Рис. 1.10. Параллельное соединение

Уравнения записываются в Y – параметрах. Матрица [Y] параллельного соединения равна сумме матриц

Последовательно-параллельное соединение

Рис. 1.11. Последовательно-параллельное соединение

При таком соединении четырехполюсников уравнения записываются в системе Н – параметров. Матрица [H] соединения равна сумме матриц [Н] – составляющих четырехполюсников.

Основы > Теоретические основы электротехники

Эквивалентные схемы четырехполюсников

Четырехполюсники эквивалентны, если при замене одного четырехполюсника другим режимы источника питания и приемника не изменяются.
Режим любого проходного четырехполюсника задается одной из систем двух уравнений (8.1)-(8.6) , каждая из которых содержит в общем случае четыре независимых коэффициента. Поэтому наиболее простая эквивалентная схема или схема замещения четырехполюсника должна состоять не менее чем из четырех элементов, параметры которых зависят от коэффициентов уравнений. Для четырехполюсника, заданного одной из матриц коэффициентов, можно составить несколько эквивалентных схем, состоящих из минимально необходимого числа элементов.
Для пассивных четырехполюсников (три независимых коэффициента) чаще выбирают Т- или П-образную схему замещения (рис. 8.8, а или б), сопротивления элементов которой зависят от значений коэффициентов заданной матрицы.
Для пассивных симметричных четырехполюсников обычно выбирают одну из трех канонических схем замещения: Т-образную (см. рис. 8.7, а), П-образную (см. рис. 8.7, б) или мостовую (рис. 8.9, а), каждая из которых задается значениями двух сопротивлений . У Т- и П-образных схем соединены накоротко выводы 1 " и 2" . Такие четырехполюсники называются неуравновешенными и применяются на практике в цепях, для которых нужно иметь общую точку. К этой точке присоединяются корпуса приборов, оболочки коаксиальных кабелей, заземляющая шина и т. д. Мостовая или Х-образная схема (рис. 8.9,а) уравновешенная, у нее взаимная замена соответственно выводов 1 и 1 ", 2 и 2" не приводит к изменению режима в участках электрической цепи, присоединяемых к первичным и к вторичным выводам. Т- и П-образные схемы можно сделать и уравновешенными, составив продольные элементы с сопротивлением из равных частей, присоединенных так, как показано на рис. 8.9, 6 и в. Все коэффициенты уравновешенных Т- и П-образных схем такие же, как и у неуравновешенных.

Такими же расчетами, как и в примере 8.4 , сопротивления можно выразить через коэффициенты уравнений любого типа. Например, для мостовой схемы (рис. 8.9, а) получается

Симметрию относительно первичных и вторичных выводов называют еще симметрией относительно поперечной оси (мысленно проведенной вертикально через центр на рис. 8.7 - 8.9). Уравновешенные четырехполюсники называют еще симметричными относительно продольной оси (горизонтальной, проведенной через центр на рис. 8.9).
Мостовая схема выбирается как основная для предварительного проектирования (синтеза) симметричных четырехполюсников; Т-, П-образные и мостовые схемы, состоящие из резистивных элементов, применяются для изменения уровня сигналов и называются аттенюаторами или удлинителями.
Симметричные перекрытые Т-образные четырехполюсники (рис. 8.9, г) применяются в качестве амплитудных корректоров, т. е. четырехполюсников, которые включаются в цепь передачи сигналов для требуемого изменения ее амплитудно-частотной характеристики.
Управляемые (зависимые) источники напряжения и тока. В предыдущих главах при анализе электрических цепей было принято, что идеальные и реальные источники напряжения (ЭДС) и тока задаются не зависящими от режима цепи параметрами ( в цепи постоянного тока или в цепи синусоидального тока). Только при пояснении принципов компенсации и эквивалентного генератора (теоремы об активном двухполюснике) было введено понятие о простейшем зависимом источнике - двухполюснике, ЭДС которого зависит от тока двухполюсника.
При исследовании цепей с многополюсниками, в частности с четырехполюсниками, содержащими, например, транзисторы, гираторы, идеальные трансформаторы, операционные усилители, нельзя построить эквивалентную схему, состоящую только из резистивных, индуктивных, емкостных элементов и идеальных или реальных источников напряжения и тока с постоянными параметрами. Для построения эквивалентных схем дополнительно нужно ввести управляемые (зависимые) источники.

Управляемый источник - это элемент с двумя парами выводов (входной и выходной), т. е. четырехполюсник. Он содержит идеальный источник напряжения (ЭДС) или тока, который управляется напряжением между какими-либо двумя выводами цепи или током в какой-либо ветви.
Различают четыре типа управляемых источников, у которых выходная величина не влияет на входную:
1) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН, рис. 8.10, а), с матрицами коэффициентов четырехполюсника

и напряжением на выходных выводах, пропорциональным напряжению на выводах, которые рассматриваются как входные;
2) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ, рис. 8.10,6), с матрицами

т. е. с напряжением на выходных выводах, зависящим от тока ветви, которая считается входной у четырехполюсника;
3) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН, рис. 8.10, в), с матрицами

т. е. выходной ток является заданной функцией напряжения на входных выводах;
4) источник тока, управляемый током (ИТУТ, рис. 8.10, г), с матрицами

т. е. выходной ток пропорционален входному.

Другие матрицы у таких четырехполюсников не существуют, и их следует рассматривать как частного вида активные неавтономные четырехполюсники. Управляемые источники напряжения и тока применяются, например, при построении эквивалентных схем устройств с транзисторами. Так, в эквивалентной схеме однокаскадного усилителя (см. рис. 8.6) есть ИТУТ, у которого ток источника пропорционален току базы .
Для активного неавтономного четырехполюсника две простейшие схемы замещения общего вида получаются добавлением к Т- или П-образной схеме (см. рис. 8.8) четвертого элемента - управляемого (зависимого) источника напряжения (ЭДС) или тока (рис. 8.11, а и б). Возможны и другие схемы замещения, одна из которых показана на рис. 8.11, в.

Пример 8.5. Выразить параметры элементов схемы замещения по рис. 8.11, а через коэффициенты матрицы Z .
Решение. Запишем уравнения для двух контуров схемы по рис. 8.11, а:

Сравнивая составленные уравнения с (8.3), находим

откуда определяем искомые параметры

Параметры схемы на рис. 8.11,6 проще всего определяются через коэффициенты матрицы Y , а схемы на рис. 8.11, в - через коэффициенты матрицы Н. В результате получается для схемы на рис. 8.11, б

и для схемы на рис. 8.11, в

При составлении схем замещения некоторые резистивные сопротивления могут получиться и отрицательными, как и при замене схемы соединения треугольником эквивалентным соединением звездой (см. раздел). Такие сопротивления не препятствуют расчету режима четырехполюсника, но в реальной цепи должны быть заменены источниками.

Гиратор или инвертор сопротивления.
К активным невзаимным четырехполюсникам частного вида относится гиратор - четырехполюсник, который задается любой из следующих четырех матриц:

где g - действительная величина, называемая коэффициентом гирации. Матрицы G и Н не существуют. Это невзаимный четырехполюсник, так как
Условное графическое изображение гиратора показано на рис. 8.12, а.
Для практического осуществления гиратор требует применения двух управляемых источников. На рис. 8.12,6 представлена эквивалентная схема с двумя управляемыми источниками тока, на рис. 8.12, в -с двумя управляемыми источниками напряжения.
Из любой системы уравнений гиратора можно определить его входное сопротивление

т. е. входное сопротивление инвертора пропорционально проводимости нагрузки. Важно отметить, что при емкостном сопротивлении получается входное индуктивное сопротивление , т.е. можно реализовать индуктивный элемент при помощи активного четырехполюсника и емкостного элемента (и наоборот). Гиратор выпускается в интегральном исполнении как один из элементов электрических цепей.
Возможно построение инверторов сопротивления и с другими параметрами, например вместо .

Основы > Теоретические основы электротехники

Коэффициенты четырехполюсников

Коэффициенты уравнений (8.1) -(8.6) постоянны (при заданной частоте) и определяются только структурой четырехполюсника и параметрами составляющих его элементов, а не параметрами источника питания и приемника. С точки зрения режима на первичных и вторичных выводах четырехполюсники, имеющие одинаковые значения коэффициентов, неотличимы , т. е. эквивалентны, хотя их внутренняя структура может быть совсем различной.
Таким образом, можно утверждать, что четырехполюсник задан, если известны его коэффициенты.
Уравнения четырехполюсника (8.1) - (8.6) показывают, что проходной активный неавтономный или пассивный четырехполюсник задается четырьмя коэффициентами любого из типов уравнений. Поэтому матрица коэффициентов одного из типов уравнений может быть выражена через матрицу коэффициентов любого другого типа уравнений.
Определим, например, связь коэффициентов уравнений типа Y с коэффициентами уравнений типа Z, выразив токи из (8.3)


где

Из сравнения полученных уравнений с (8.2) следует, что
В табл. 8.1 приведены формулы связи коэффициентов всех систем уравнений. Коэффициенты уравнений четырехполюсника называют еще его первичными параметрами .

Каждый из первичных параметров имеет простой физический смысл. Например, по (8.3) при (в режиме холостого хода на вторичных выводах), т. е. - входное сопротивление, измеренное на первичных выводах при разомкнутых вторичных; по (8.2) при , т. е. - входная проводимость со стороны вторичных выводов при коротком замыкании первичных; по (8.4) при , т. е. и т. д.
Если известны схема четырехполюсника и значения составляющих его элементов, то любой из коэффициентов может быть определен расчетом.

Пример 8.1. Определить коэффициенты уравнений типа А и передаточную функцию для пассивного четырехполюсника по рис. 8.5.
Решение. Выразим напряжение и ток через напряжение и ток при помощи уравнений Кирхгофа:

Сравнив эти зависимости с уравнениями типа А (8.1), найдем

Передаточная функция определяется после подстановки во второе уравнение (8.1а) , откуда .

Пример 8.2. На рис. 8.6 представлена эквивалентная схема однокаскадного усилителя с транзистором, включенным по схеме с общим эмиттером. Заданы сопротивления - базы, - эмиттера, - коллектора и коэффициент b передачи тока базы (). Составить матрицу Z -параметров.
Решение. Режим неавтономного активного четырехполюсника по рис. 8.6 описывается уравнениями

Сравнив эти зависимости с уравнениями типа Z (8.3), найдем

Пассивные четырехполюсники.
Для пассивных четырехполюсников выполняется принцип взаимности и число независимых коэффициентов каждого типа уравнений уменьшается до трех.
В качестве примера найдем зависимость между коэффициентами матрицы Y . Предположим, что выходные выводы четырехполюсника замыкаются накоротко сначала при питании со стороны первичных выводов, а затем со стороны вторичных. В первом случае (см. рис. 8.3, а) и из второго уравнения типа Y получим , во втором случае (см. рис. 8.3, б) и из первого уравнения типа Y имеем . Если выбрать напряжение во втором случае равным напряжению в первом, то из принципа взаимности следует, что . Это равенство выполняется при условии

Полученный результат не является неожиданным. Коэффициенты - это по сути дела взаимные (передаточные) проводимости выходной и входной ветвей четырехполюсника при источниках ЭДС , подключенных соответственно к первичным и вторичным выводам.
При помощи табл. 8.1 или непосредственно можно найти зависимости между коэффициентами каждой из матриц

В примере 8.1 были определены коэффициенты уравнений типа А самого простого пассивного несимметричного четырехполюсника по рис. 8.5, который называется Г-образным. Нетрудно убедиться, что условие выполняется. В примере 8.2 составлена матрица Z -параметров активного неавтономного четырехполюсника. Условие для этого четырехполюсника не выполняется, как и должно быть.

Симметричный четырехполюсник.
Четырехполюсник, у которого при взаимной замене первичных и вторичных выводов режимы источника питания и приемника не изменяются, называется симметричным . У такого активного неавтономного четырехполюсника не четыре, а три независимых коэффициента (первичных или основных параметров), а у пассивного два. Например, как было показано выше, при питании четырехполюсника со стороны первичных выводов и разомкнутых вторичных При питании со стороны вторичных выводов и разомкнутых первичных у симметричного четырехполюсника должно быть такое же входное сопротивление Из уравнений (8.3) при получаем , и, следовательно,

Такие же рассуждения приводят к равенствам

Если два Г-образных четырехполюсника (см. рис. 8.5) соединить соответственно друг с другом выводами 1 и 1 " , то получится симметричный Т-образный четырехполюсник (рис. 8.7, а), а при соединении выводами 2 и 2" - симметричный П-образный (рис. 8.7, б) - две канонические схемы пассивных симметричных четырехполюсников, которые содержат минимально возможное число двухполюсников (элементов).

Пример 8.3. Найти коэффициенты уравнений типа А симметричного Т-образного четырехполюсника (рис. 8.7, а).
Решение. Коэффициенты могут быть найдены тем же методом, что и в примере 8.1. Однако для рассматриваемого четырехполюсника (как и многих других) вычисления упрощаются при выполнении мысленных опытов холостого хода и короткого замыкания.
При холостом ходе на вторичных выводах ( или . Сравнив эти выражения с уравнениями (8.1а) при , определим

При коротком замыкании вторичных выводов () из рис. 8.7, а следует, что или

Сравнив эти выражения с уравнениями (8.1а) при , найдем

т.е. как и должно быть у симметричного четырехполюсника (8.7).

Пример 8.4. Найти коэффициенты матрицы Y для П-образного симметричного четырехполюсника (рис. 8.7, б).
Решение. Для пассивного симметричного четырехполюсника должны выполняться условия (8.13) и (8.14). Поэтому запишем уравнения (8.2) в виде


В частности, при коротком замыкании вторичных выводов

Для четырехполюсника по рис. 8.7, б

Следовательно,

Из последних двух формул можно найти параметры при заданной матрице Y:


Для симметричного пассивного четырехполюсника должны выполняться и условия (8.13), и условия (8.14), т. е., как было указано, остается два независимых параметра. Например, для симметричного Т-образного четырехполюсника (рис. 8.7, а) в примере 8.3 получено и, как нетрудно убедиться, (см. таблицу).

Коэффициенты и параметры симметричных четырехполюсников

Экспериментальное определение коэффициентов и входных сопротивлений.
Первичные параметры каждого данного четырехполюсника могут быть определены экспериментально при измерении режима (напряжений и токов) на первичных и вторичных выводах. Например, при питании четырехполюсника со стороны первичных выводов (напряжение ) и холостом ходе на вторичных (напряжение токи ) из (8.1а) находим

а при коротком замыкании вторичных (напряжение , токи )

При работе четырехполюсника в цепи постоянного тока для вычисления коэффициентов достаточно измерить вольтметрами напряжения и амперметрами токи. В цепи синусоидального тока необходимо еще определить угол сдвига фаз между соответствующими величинами, например при определении коэффициента
С ростом частоты экспериментальное определение большинства коэффициентов становится все более трудным, так как измерение напряжений, токов и особенно сдвига фаз усложняется. У четырехполюсников - линий передачи сигналов - экспериментальное определение коэффициентов по результатам двух опытов практически вообще невозможно, так как требует включения прибора, измеряющего сдвиг фаз (ваттметр, осциллограф, фазометр), одновременно к входным и выходным выводам линии.
Сопротивления холостого хода и короткого замыкания могут быть измерены теми же методами, что и любые другие сопротивления, например при помощи измерительного моста или амперметра, вольтметра и ваттметра, включенных только со стороны первичных или только со стороны вторичных выводов. Поэтому для большинства четырехполюсников измерение сопротивлений можно выполнить точнее и проще, чем измерение коэффициентов четырехполюсника, особенно на высоких частотах.
Однако в общем случае по найденным экспериментально или расчетом сопротивлениям холостого хода и короткого замыкания нельзя определить четыре независимых коэффициента какого-либо типа уравнений. Действительно, эти сопротивления связаны соотношением (8.12), т. е. у четырехполюсника три независимых сопротивления холостого хода и короткого замыкания.
У пассивных четырехполюсников коэффициенты каждой из матриц первичных параметров связаны дополнительно условиями (8.13), т. е. число независимых коэффициентов равно трем. Поэтому коэффициенты можно выразить через сопротивления холостого хода и короткого замыкания. В качестве примера свяжем коэффициенты уравнений типа А с одной из троек независимых сопротивлений: Подставив в соотношение значения коэффициентов из (8.9) -(8.11), получим

Аналогично можно получить формулы для коэффициентов Но при вычисленном уже коэффициенте (8.16) и известных сопротивлениях коэффициенты проще найти из (8.9) -(8.11).
Если задана (измерена или рассчитана) другая тройка сопротивлений, то можно пользоваться этими же выражениями, предварительно вычислив четвертое сопротивление из (8.12).
Следует обратить внимание на то, что выражение (8.16) дает два значения коэффициента При извлечении квадратного корня из комплексного числа получаются два комплекса, аргументы которых отличаются на 180° (p ) или знаком минус перед модулем:


Соответственно получаются два значения и для других коэффициентов. Выбор того или иного значения коэффициента зависит от разметки вторичных выводов. После того как выбрана разметка первичных выводов, представляются две возможности при разметке вторичных: а) верхний вывод 2, нижний 2", как на рис. 8.1, и положительное направление напряжения U_2 от 2 к 2"; б) верхний вывод 2", нижний 2 и положительное направление напряжения опять от 2 к 2", т. е. противоположно первому случаю.
Изменение положительного направления напряжения равносильно изменению его фазы на 180°. Такое изменение фазы и получается, если вместо первого значения коэффициента (т. е. ) выбрать второе значение (), что видно, например, из (8.15а): . При изменении разметки вторичных выводов сопротивления холостого хода и короткого замыкания остаются неизменными. Поэтому опыты холостого хода и короткого замыкания не дают возможности выбрать одно из двух значений коэффициента и т. е. провести разметку вторичных выводов.
Аналогичное замечание нужно учесть и при расчете коэффициентов уравнений других типов.