60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел и добавим к ним недостающий множитель 5 из разложения второго числа. Получаем: 2*2*3*5*5=300. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.

Определение НОД: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и в называют наибольшее натуральное число c , на которое и a , и b делятся без остатка. Т.е. c это нибольшее натуральное число, для которого и а и б являются кратными.

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

• числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); - в школах, обычно так .
• обозначении количества предметов (нет покемонов - ноль, один покемон, два покемона, …).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие - нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N

Памятка: Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка. Кратным натуральному числу b называют натуральное число a , которое делится на b без остатка. Если число b - делитель числа a , то a кратно числу b . Пример: 2 - делитель 4, а 4 кратно двум. 3 - делитель 12, а 12 кратно 3.
Памятка: Натуральные числа называют простыми, если они делятся без остатка только на себя и на 1. Взаимно простыми называются числа у которых только один общий делитель, равный 1.

Определение как найти НОД в общем случае: Чтобы найти НОД (Наибольший общий делитель) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Вычеркнуть те, которые не входят в разложение остальных чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 2 на (НОК): К новому году Коля Пузатов купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла Дормидонтова, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?

Пример 2.1. решения задачи на нахождение НОД. Нахождение НОД подбором.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1) Выпишем делители 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Выпишем делители 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Выбираем наибольший общий делитель. Оп-ля-ля! Нашли, это число наборов 12 штук.
3) Поделим 48 на 12 получим 4, поделим 36 на 12, получим 3. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Получится 12 наборов по 4 хомяка и 3 кофейника в каждом наборе.

Ланцинова Айса

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Задачи на НОД и НОК чисел Работа ученицы 6 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Ланциновой Айсы Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики с. Камышово, 2013г

Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325. 1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Найдём произведение оставшихся множителей 5 ∙ 5 = 25 Ответ: НОД (50, 75 и 325)= 25 Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Пример нахождения НОК чисел 72, 99 и 117. 1) Разложим на простые множители числа 72, 99 и 117. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Выписать множители, входящих в разложение одного из чисел 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и добавить к ним недостающие множители остальных чисел. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3)Найдите произведение получившихся множителей. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Ответ: НОК (72, 99 и 117) = 10296 Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно a и b .

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько? Решение: 1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника. S= 48 ∙ 40 = 1960 см ² . – площадь картона. 2) a – сторона квадрата 48: a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона. 40: а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона. 3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата. 4) S = a² – площадь одного квадрата. S = 8² = 64 (см ² .) – площадь одного квадрата. 5) 1960: 64 = 30 (количество квадратов). Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый. Задачи на НОД

Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки? Решение: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см ²) – S поверхности камина. 2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки. 3) S = a² = 39² = 1521 (см ²) – площадь 1 плитки. 4) 30420: = 20 (штук). Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см). Задачи на НОД

Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы? Решение: 1) P = 2(a + b) – периметр участка. P = 2(54 + 48) = 204 м. 2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами. 3) 204: 6 = 34 (столба). Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м. Задачи на НОД

Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете? Решение: 1) НОД (210, 126 и 294) = 42 (букета). 2) 210: 42 = 5 (бордовых роз). 3) 126: 42 = 3 (белых роз). 4) 294: 42 = 7 (красных роз). Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете. Задачи на НОД

Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая? Решение: 1) 90 + 5 = 95 (руб.) заплатила Маша. 2) НОД (90 и 95) = 5 (руб.) – цена 1 набора. 3) 980: 5 = 18 (наборов) – купила Таня. 4) 95: 5 = 19 (наборов) – купила Маша. Ответ: 5 рублей, 18 наборов, 19 наборов. Задачи на НОД

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход? Решение: 1) НОК (15,20 и 12) = 60 (суток) – время встречи. 2) 60: 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход. 3) 60: 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход. 4) 60: 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход. Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов. Задачи на НОК

Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15. Сколько яиц купила Маша? Решение: НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц) Ответ: Маша купила 30 яиц. Задачи на НОК

Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную? Решение: 1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок). 2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки. S = 16 ∙ 20 = 320 (см ²) – площадь дна 1 коробки. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (см ²) – площадь квадратного дна. 4) S = а² = а ∙ а 25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика. Ответ: 160 см- сторона квадратного дна. Задачи на НОК

Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять? Решение: 1) НОК (45 и 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 –было столбов. 3) 180: 60 = 3 – стало столбов. Ответ: 4 столба, 3 столба. Задачи на НОК

Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге? Решение: 1)НОК (12 и 18) = 36 (человек) – маршируют. Ответ: 36 человек. Задачи на НОК

Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое число группы. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти простые множители данных чисел. Также НОК можно вычислить с помощью ряда других методов, которые применимы к группам из двух и более чисел.

Шаги

Ряд кратных чисел

Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых меньше 10. Если даны большие числа, воспользуйтесь другим методом.

• Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому можно использовать данный метод.

1. Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Кратные числа можно посмотреть в таблице умножения..

   • Например, числами, которые кратны 5, являются: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишите ряд чисел, которые кратны первому числу. Сделайте это под кратными числами первого числа, чтобы сравнить два ряда чисел.

   • Например, числами, которые кратны 8, являются: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, и 64.

3. Найдите наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел. Возможно, вам придется написать длинные ряды кратных чисел, чтобы найти общее число. Наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел, является наименьшим общим кратным.

   • Например, наименьшим числом, которое присутствует в рядах кратных чисел 5 и 8, является число 40. Поэтому 40 – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 8.

   Разложение на простые множители

   1. Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых больше 10. Если даны меньшие числа, воспользуйтесь другим методом.

      • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому можно использовать данный метод.

   2. Разложите на простые множители первое число. То есть нужно найти такие простые числа, при перемножении которых получится данное число. Найдя простые множители, запишите их в виде равенства.

      • Например, 2 × 10 = 20 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 10=20} и 2 × 5 = 10 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times {\mathbf {5} }=10} . Таким образом, простыми множителями числа 20 являются числа 2, 2 и 5. Запишите их в виде выражения: .

   3. Разложите на простые множители второе число. Сделайте это так же, как вы раскладывали на множители первое число, то есть найдите такие простые числа, при перемножении которых получится данное число.

      • Например, 2 × 42 = 84 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 42=84} , 7 × 6 = 42 {\displaystyle {\mathbf {7} }\times 6=42} и 3 × 2 = 6 {\displaystyle {\mathbf {3} }\times {\mathbf {2} }=6} . Таким образом, простыми множителями числа 84 являются числа 2, 7, 3 и 2. Запишите их в виде выражения: .

   4. Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите такие множители в виде операции умножения. По мере записи каждого множителя зачеркивайте его в обоих выражениях (выражения, которые описывают разложения чисел на простые множители).

      • Например, общим для обоих чисел является множитель 2, поэтому напишите 2 × {\displaystyle 2\times } и зачеркните 2 в обоих выражениях.
      • Общим для обоих чисел является еще один множитель 2, поэтому напишите 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} и зачеркните вторую 2 в обоих выражениях.

   5. К операции умножения добавьте оставшиеся множители. Это множители, которые не зачеркнуты в обоих выражениях, то есть множители, не являющиеся общими для обоих чисел.

      • Например, в выражении 20 = 2 × 2 × 5 {\displaystyle 20=2\times 2\times 5} зачеркнуты обе двойки (2), потому что они являются общими множителями. Не зачеркнут множитель 5, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 {\displaystyle 2\times 2\times 5}
      • В выражении 84 = 2 × 7 × 3 × 2 {\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2} также зачеркнуты обе двойки (2). Не зачеркнуты множители 7 и 3, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3} .

   6. Вычислите наименьшее общее кратное. Для этого перемножьте числа в записанной операции умножения.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420} . Таким образом, наименьшее общее кратное 20 и 84 равно 420.

   Нахождение общих делителей

   1. Нарисуйте сетку как для игры в крестики-нолики. Такая сетка представляет собой две параллельные прямые, которые пересекаются (под прямым углом) с другими двумя параллельными прямыми. Таким образом, получатся три строки и три столбца (сетка очень похожа на значок #). Первое число напишите в первой строке и втором столбце. Второе число напишите в первой строке и третьем столбце.

      • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 18 и 30. Число 18 напишите в первой строке и втором столбце, а число 30 напишите в первой строке и третьем столбце.

   2. Найдите делитель, общий для обоих чисел. Запишите его в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые делители, но это не является обязательным условием.

      • Например, 18 и 30 – это четные числа, поэтому их общим делителем будет число 2. Таким образом, напишите 2 в первой строке и первом столбце.

   3. Разделите каждое число на первый делитель. Каждое частное запишите под соответствующим числом. Частное – это результат деления двух чисел.

      • Например, 18 ÷ 2 = 9 {\displaystyle 18\div 2=9} , поэтому запишите 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 {\displaystyle 30\div 2=15} , поэтому запишите 15 под 30.

   4. Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите два следующих шага. В противном случае делитель запишите во второй строке и первом столбце.

      • Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому запишите 3 во второй строке и первом столбце.

   5. Разделите каждое частное на второй делитель. Каждый результат деления запишите под соответствующим частным.

      • Например, 9 ÷ 3 = 3 {\displaystyle 9\div 3=3} , поэтому запишите 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 {\displaystyle 15\div 3=5} , поэтому запишите 5 под 15.

   6. Если нужно, дополните сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные действия до тех пор, пока у частных не будет общего делителя.

   7. Обведите кружками числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем выделенные числа запишите в виде операции умножения.

      • Например, числа 2 и 3 находятся в первом столбце, а числа 3 и 5 находятся в последней строке, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 3 × 3 × 5 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5} .

   8. Найдите результат умножения чисел. Так вы вычислите наименьшее общее кратное двух данных чисел.

      • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90} . Таким образом, наименьшее общее кратное 18 и 30 равно 90.

   Алгоритм Евклида

   1. Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Делимое – это число, которое делят. Делитель – это число, на которое делят. Частное – это результат деления двух чисел. Остаток – это число, оставшееся при делении двух чисел.

      • Например, в выражении 15 ÷ 6 = 2 {\displaystyle 15\div 6=2} ост. 3:
        15 – это делимое
        6 – это делитель
        2 – это частное
        3 – это остаток.

Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.

Общие кратные – определение, примеры

В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

Определение 1

Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.

Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.

Пример 1

Согласно данному выше определению для числа 12 общими кратными числами будут 3 и 2 . Также число 12 будет общим кратным для чисел 2 , 3 и 4 . Числа 12 и - 12 являются общими кратными числами для чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12 .

В то же время общим кратным числом для чисел 2 и 3 будут числа 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 и целый ряд любых других.

Если мы возьмем числа, которые делятся на первое число из пары и не делятся на второе, то такие числа не будут общими кратными. Так, для чисел 2 и 3 числа 16 , − 27 , 5 009 , 27 001 не будут общими кратными.

0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.

Если вспомнить свойство делимости относительно противоположных чисел, то получается, что некоторое целое число k будет общим кратным данных чисел точно также, как и число – k . Это значит, что общие делители могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для всех ли чисел можно найти НОК?

Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

Пример 2

Предположим, что нам даны k целых чисел a 1 , a 2 , … , a k . Число, которое мы получим в ходе умножения чисел a 1 · a 2 · … · a k согласно свойству делимости будет делиться на каждый из множителей, который входил в изначальное произведение. Это значит, что произведение чисел a 1 , a 2 , … , a k является наименьшим общим кратным для этих чисел.

Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?

Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.

Пример 3

Предположим, что у нас есть некоторое число k . Тогда произведение чисел k · z , где z – это целое число, будет являться общим кратным чисел k и z . С учетом того, что количество чисел бесконечно, то и количество общих кратных бесконечно.

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.

Определение 2

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

Наименьшее общее кратное существует для любого количества данных чисел. Наиболее употребимой для обозначения понятия в справочной литературе является аббревиатура НОК. Краткая запись наименьшего общего кратного для чисел a 1 , a 2 , … , a k будет иметь вид НОК (a 1 , a 2 , … , a k) .

Пример 4

Наименьшее общее кратное чисел 6 и 7 – это 42 . Т.е. НОК (6 , 7) = 42 . Наименьшее общее кратное четырех чисел - 2 , 12 , 15 и 3 будет равно 60 . Краткая запись будет иметь вид НОК (- 2 , 12 , 15 , 3) = 60 .

Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.

Теорема 1

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b , деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Доказательство 1

Предположим, что мы имеем некоторое число M , которое кратно числам a и b . Если число M делится на a , также существует некоторое целое число z , при котором справедливо равенство M = a · k . Согласно определению делимости, если M делится и на b , то тогда a · k делится на b .

Если мы введем новое обозначение для НОД (a , b) как d , то сможем использовать равенства a = a 1 · d и b = b 1 · d . При этом оба равенства будут взаимно простыми числами.

Мы уже установили выше, что a · k делится на b . Теперь это условие можно записать следующим образом:
a 1 · d · k делится на b 1 · d , что эквивалентно условию a 1 · k делится на b 1 согласно свойствам делимости.

Согласно свойству взаимно простых чисел, если a 1 и b 1 – взаимно простые числа, a 1 не делится на b 1 при том, что a 1 · k делится на b 1 , то b 1 должно делиться k .

В этом случае уместно будет предположить, что существует число t , для которого k = b 1 · t , а так как b 1 = b: d , то k = b: d · t .

Теперь вместо k подставим в равенство M = a · k выражение вида b: d · t . Это позволяет нам прийти к равенству M = a · b: d · t . При t = 1 мы можем получить наименьшее положительное общее кратное чисел a и b , равное a · b: d , при условии, что числа a и b положительные.

Так мы доказали, что НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.

Определение 3

Теорема имеет два важных следствия:

• кратные наименьшего общего кратного двух чисел совпадает с общими кратными этих двух чисел;
• наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обосновать эти два факта не составляет труда. Любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M = НОК (a , b) · t при некотором целом значении t . Так как a и b взаимно простые, то НОД (a , b) = 1 , следовательно, НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) = a · b: 1 = a · b .

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.

Теорема 2

Предположим, что a 1 , a 2 , … , a k – это некоторые целые положительные числа. Для того, чтобы вычислить НОК m k этих чисел, нам необходимо последовательно вычислить m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k - 1 , a k) .

Доказательство 2

Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:

• общие кратные чисел a 1 и a 2 совпадают с кратными их НОК, фактически, они совпадают с кратными числа m 2 ;
• общие кратные чисел a 1 , a 2 и a 3 m 2 и a 3 m 3 ;
• общие кратные чисел a 1 , a 2 , … , a k совпадают с общими кратными чисел m k - 1 и a k , следовательно, совпадают с кратными числа m k ;
• в связи с тем, что наименьшим положительным кратным числа m k является само число m k , то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , … , a k является m k .

Так мы доказали теорему.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел - это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1 . Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18 , 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2 . Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго - множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их "зачеркиваем".
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 - остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем "накрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это - число 300.

Пример . Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы "вычеркнули" все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.