Напряженность бесконечно длинной заряженной нити

Рассмотрим несколько примеров расчёта электростатических полей с помощью теоремы Гаусса.

1.7.1. Поле бесконечной равномерно заряженной прямолинейной нити

Рассмотрим равномерно заряженную бесконечно длинную нить. Линейная плотность заряда равна .

Заряд, равномерно распределённый по нити, обладает симметрией – он симметричен относительно оси.

Нить имеет бесконечную длину, поэтому любому эле-ментарному зарядуdq 1 можно сопоставить другой элементарный заряд dq 2 , расположенный симметрично относительно некоторой точки в электростатическом поле.

Поскольку расстояние от эле-ментарных зарядов до этой точки одинаково, модули напряжён-ностей Е 1 и Е 2 одинаковы. Поэтому результирующая напряжённость

Е = Е 1 +Е 2 направлена перпен-дикулярно нити (см. рисунок).

Очевидно, что и в других точ-ках, расположенных на таком же расстоянии от нити, напря-жённость будет иметь такую же величину и направление.

Элементарные заряды и точка в поле были выбраны случайно, поэтому вывод справедлив как для всех остальных элементарных зарядов, так и для всех точек поля.

Это означает, что электрическое поле, созданное заряженной нитью, симметрично относительно оси нити. Другими словами – симметрия поля тождественна симметрии заряда, создающего поле.

Таким образом, векторы напряжённости во всех точках окружающего пространства перпендикулярны нити и модули напряжённости на одинаковых расстояниях от нити одинаковы.

В свою очередь, выражение для потока следует начинать с выбора формы замкнутой поверхности и её положения относительно источника поля.

Расчёт потока будет максимально прост, если выбрать такую поверхность, симметрия которой идентична симметрии создаю-щего поле заряда.

В данном случае удобно пользоваться замкнутой поверхностью с осевой симметрией.

Такой поверхностью является цилиндр, ось которого совпадает с нитью. Пусть высота цилиндра равна l , а радиус основания – r .

Поток вектора напряжённости поля, созданного нитью, складывается из потока через торцевые поверхности цилиндра и потока через боковую поверхность.

Поток через торцевые поверхности равен нулю, так как векторы напряжённости перпендикулярны нити и, соответ-ственно угол между векторами Е и n равен 90 0,

.

Поток через боковую поверхность

.

Поскольку все точки боковой поверхности расположены на одинаковых расстояниях от нити, модули напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра одинаковы, т. е.

.

Таков вид выражения для потока вектора рассчитываемой напряжённости.

Следующий этап вычисления напряжённости электро-статического поля – расчёт суммарного заряда, охваченного замкнутой поверхностью.

Заряд, охваченный поверхностью s , можно найти так:

.

Тогда, по теореме Гаусса,

.

.

Таким образом, напряжённость электрического поля, создан-ного равномерно заряженной нитью, прямо пропорциональна линейной плотности заряда нити и обратно пропорциональна расстоянию от нити до интересующей нас точки.

Обратите внимание – напряжённость обратно пропорцио-нальна первой степени расстояния от нити (напряжённость поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда).

Линейная плотность заряда – заряд, приходящийся на единицу длины:

Следовательно,

.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 поля, лежащими на расстоянии r 1 и r 2 от оси цилиндра:

3. Поле заряженной сферической поверхности

Видно, что выражение для получилось таким же, как и для точечного заряда.

Разность потенциалов

Шар, представляющий собой диэлектрик, может быть внутри равномерно заряжен с объемной плотностью

. Поток векторачерез поверхность радиусомr  R (R – радиус шара) равен

Заряд внутри сферы радиусомr равен:

.

По теореме Гаусса

и

За пределами равномерно заряженного шара выражение для E A будет таким же, как и полученное нами для полой сферы

, только величинаq будет равняться  V :

Разность потенциалов для точек, лежащих на расстоянии r  R от центра шара:

и для точек, лежащих на расстоянии r  R от центра шара:

2. Проводники в электрическом поле.

Проводниками называют тела, которые хорошо проводят электрический ток, в которых есть свободные электрические заряды, способные перемещаться по всему объему проводника.

Условия равновесия зарядов на проводнике:

Поскольку внутри проводника E =0, а в непосредственной близости от поверхности , то это значит, что при переходе из проводника в пространство за проводником (в воздух) значениеизменяется от 0 до.

Среднее значение напряженности поля на поверхности проводника получается равным:

Сила, с которой поле проводника действует на заряд, расположенный на его поверхности dS , равна:

Давление, испытываемое поверхностью проводника и обусловленное избыточными зарядами на его поверхности, равно:

При помещении незаряженного проводника в электрическое поле имеющиеся на нем заряды приходят в движение – на противоположных поверхностях возникают избыточные электрические заряды противоположных знаков.

Возникающие на поверхности заряды создают свое поле, которое в точности равно внешнему, но противоположно по направлению – внутри проводника (в полости) поле отсутствует.

Перераспределение зарядов в проводнике под действием внешнего поля происходит до тех пор, пока силовые линии не окажутся перпендикулярными поверхности проводника.

Равенство нулю напряженности поля в полости проводника используют для реализации электрической защиты, причем оказалось, что электрическая защита получается достаточно хорошей не только в случае сплошной металлической оболочки, но и в случае использования мелкой металлической сетки.

Соединение проводником какого-либо тела с землей называют заземлением. При заземлении заряженных проводников, в том числе и тела человека, они теряют заряд и их потенциал будет равен потенциалу земли. Заземление корпусов приборов и аппаратов способствует их безопасной эксплуатации, т.к. исключает возможность для персонала оказаться под напряжением корпуса аппарата и земли.

Страница 2 из 4

21. Длинный прямой провод, расположенный в вакууме, несет заряд, равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью 2 нКл/м. Определите напряженность Е электростатического поля на расстоянии r = 1 м от провода.

22. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом R 1 = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью τ 1 = 0,2 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R 2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью τ 2 = – 0,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (ε = 3). Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1) r 1 = 1 мм; 2) r 2 = 2 мм; 3) r 3 = 5 мм.

23. Электростатическое поле создается положительно заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м 2 бесконечной плотностью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 2 см до r 2 = 1 см?

24. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью τ = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 2 см до r 2 = 1 см?

25. Одинаковые заряды Q = 100 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной a = 10 см. Определить потенциальную энергию этой системы.

26. В боровской модели атома водорода электрон движется по круговой орбите радиусом r = 52,8 пм, в центре которой находится протон. Определить: 1) скорость электрона на орбите; 2) потенциальную энергию электрона в поле ядра, выразив её в электрон-вольтах.

27. Кольцо радиусом r = 5 см из тонкой проволоки несет равномерно распределенный заряд Q = 10 нКл. Определить потенциал φ электростатического поля: 1) в центре кольца; 2) на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на расстояние a = 10 см от центра кольца.

28. На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним - 1м равно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре кольца.

29. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд Q = 10 нКл. Оп потенциал φ электростатического поля: 1) на поверхно шара; 2) на расстоянии a = 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости φ(r).

30. Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определить радиус шара, если потенциал в центре шара равен φ 1 = 200 В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии r = 50 см, φ 2 = 40 В.

31. Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Определить числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии r = 10 см от заряда потенциал равен φ = 100 В.

32. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью σ = 5 нКл/м 2 Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля.

33. Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью заряженной равномерно с линейной плотностью τ = 50 пКл/см. Определите числовое значение и направление градиента потенциала в точке на расстоянии r = 0,5 м от нити.

34. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния r 1 = 5 см и r 2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 50 мкДж.

35. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 1 см до r 2 = 5 см, изменил свою скорость от 1 до 10 Мм/с Определите линейную плотность заряда нити.

36. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью сигма = 1 нКл/м 2 . Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии x 1 = 20 см и x 2 = 50 см от плоскости.

37. Определить поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского слюдяного (ε = 7) конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 200 В, если расстояние между его пластинами равно d = 0,5 мм.

38. Электростатическое поле создается равномерно заряженной сфе поверхностью радиусом R = 10 см с общим зарядом Q = 15 нКл. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях r 1 = 5 см и r 2 = 15 см от поверхности сферы.

39. Электростатическое поле создается сферой радиусом R = 5 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью сигма = 1 нКл/м 2 . Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r 1 = 10 см и r 2 = 15 см от центра сферы.

40. Электростатическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R=1 м с общим зарядом Q = 50 нКл. Определите разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях 1) r 1 = 1,5 м и r 2 = 2 м; 2) r 1 "= 0,3 м и r 2 " = 0,8 м.