Решение задания Гл.V №393 такое:
а) Сначала строим одну из заданных сторон АВ, и в точке А проводим луч под данным углом к стороне АВ. С помощью циркуля откладываем отрезок АС, равный второй заданной стороне параллелограмма. Так как в параллелограмме противолежащие стороны параллельны, то
проведя через точку С прямые параллельные построенным сторонам в точке их пересечения D получим четвертую вершину искомого параллелограмма АСDВ.
б) Проводим две прямые под заданным углом между
диагоналями. С помощью циркуля, из точки пересечения
О, проводим две окружности, радиусами равными поло-
вине длины заданной диагонали. Из свойства 2°, п. 43
учебника следует, что точки их пересечения с прямыми
будут вершинами искомого параллелограмма.
в) Даны три отрезка M 1 N 1 , M 2 N 2 , M 3 N 3 (рис. а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M 1 N 1 и M 2 N 2 , а диагональ BD равна отрезку M 3 N 3 .
Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 . Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.
Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 . Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ. Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.
Ясно, что если по трём данным отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какойто из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя.
Определение
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Теорема (первый признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Пусть в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и \(AB = CD\) .
Проведём диагональ \(AC\) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: \(ABC\) и \(CDA\) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (\(AC\) – общая сторона, \(AB = CD\) по условию, \(\angle 1 = \angle 2\) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(AC\) ), поэтому \(\angle 3 = \angle 4\) . Но углы \(3\) и \(4\) накрест лежащие при пересечении прямых \(AD\) и \(BC\) секущей \(AC\) , следовательно, \(AD\parallel BC\) . Таким образом, в четырехугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Теорема (второй признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Проведём диагональ \(AC\) данного четырехугольника \(ABCD\) , разделяющую его на треугольники \(ABC\) и \(CDA\) .
Эти треугольники равны по трем сторонам (\(AC\) – общая, \(AB = CD\) и \(BC = DA\) по условию), поэтому \(\angle 1 = \angle 2\) – накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) . Отсюда следует, что \(AB\parallel CD\) . Так как \(AB = CD\) и \(AB\parallel CD\) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Теорема (третий признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) , в котором диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам.
Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по первому признаку равенства треугольников (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) по условию, \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы), поэтому \(AB = CD\) и \(\angle 1 = \angle 2\) . Из равенства углов \(1\) и \(2\) (накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) ) следует, что \(AB\parallel CD\) .
Итак, в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Доказательство
1) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AE\) – биссектриса угла \(BAD\) .
Углы \(1\) и \(2\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AE\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как \(AE\) – биссектриса. В итоге \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\) , откуда следует, что треугольник \(ABE\) – равнобедренный.
2) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы углов \(BAD\) и \(ABC\) соответственно.
Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\) , тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}\) .
Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^{\circ}\) , откуда \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\) .
3. Пусть \(AN\) и \(CM\) – биссектрисы углов параллелограмма \(ABCD\) .
Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\) . Кроме того, углы \(1\) и \(3\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(CM\) , тогда \(\angle 2 = \angle 3\) , откуда следует, что \(AN\parallel CM\) . Кроме того, \(AM\parallel CN\) , тогда \(ANCM\) – параллелограмм, следовательно, \(AN = CM\) .
Определение
На рисунке 157 изображён параллелограмм ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником (см. задачу 378).
Рис. 157
Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: АВС и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС - общая сторона, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому
AB = CD, AD = ВС и ∠B = ∠D.
∠A = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = ∠C.
Рис. 159
Пусть О - точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (АВ = CD как противоположные стороны параллелограмма, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО = ОС и OB = OD, что и требовалось доказать.
Рис. 160
Рисунок 160 иллюстрирует все рассмотренные свойства.
Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD параллельны и AB = CD (см. рис. 158).
Проведём диагональ АС, разделяющую данный четырёхугольник на два треугольника: АВС и CD А. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (АС - общая сторона, АВ = CD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС), поэтому ∠3 = ∠4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, следовательно, AD || ВС.
Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Проведём диагональ АС данного четырёхугольника ABCD, разделяющую его на треугольники АВС и CD А (см. рис. 158). Эти треугольники равны по трём сторонам (АС - общая сторона, AB = CD и BC = DA по условию), поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что АВ || CD. Так как AB = CD и АВ || CD, то по признаку 1 0 четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см. рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по первому признаку равенства треугольников (АО = ОС, BO = OD по условию, ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы), поэтому AB = CD и ∠1 = ∠2. Из равенства углов 1 и 2 следует1, что АВ || CD.
Итак, в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1 0 четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а две другие стороны - боковыми сторонами (рис. 161).
Рис. 161
Трапеция называется равнобедренной , если её боковые стороны равны (рис. 162, а).
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 162, б).
Рис. 162
371. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если:
a) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠D АС;
б) АВ || CD, ∠A = ∠C.
372. Периметр параллелограмма равен 48 см.
Найдите стороны параллелограмма, если:
а) одна сторона на 3 см больше другой;
б) разность двух сторон равна 7 см;
в) одна из сторон в два раза больше другой.
373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.
375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
376. Найдите углы параллелограмм: ABCD, если:
a) ∠A = 84°;
б) ∠A - ∠B = 55°;
в) ∠A+∠C = 142°б
д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.
377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.
378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Решение
Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.
379. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK - параллелограмм.
380. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.
381. На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О 1 А и О 2 В равны. Стержень АВ, длина которого равна расстоянию О 1 О 2 между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки АВ и О 1 О 2 либо параллельны, либо лежат на одной прямой.
Рис. 163
382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A 1 B 1 C 1 D 1 , вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, - параллелограмм.
383. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что РВ = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ - параллелограмм.
384. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.
Решение
Через точку С проведём прямую, параллельную прямой АВ, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 164). Так как AM = МВ по условию, а МВ = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то AM = DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (AM = CD, ∠1=∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и MD), поэтому AN = NC.
Рис. 164
385. Докажите теорему Фалеса 1 : если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Решение
Пусть на прямой l 1 отложены равные отрезки А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 , ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l 2 в точках В 1 , В 2 , В 3 , В 4 , ... (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В 1 В 2 , В 2 В 3 , В 3 В 4 , ... равны друг другу. Докажем, например, что В 1 В 2 = В 2 В 3 .
Рассмотрим сначала случай, когда прямые l 1 , и l 2 параллельны (рис. 165, а). Тогда A 1 А 2 = В 1 В 2 и А 2 А 3 = В 2 В 3 как противоположные стороны параллелограммов А 1 В 1 В 2 А 2 и А 2 В 2 В 3 А 3 . Так как А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и В 1 В 2 = В 2 В 3 . Если прямые l 1 и l 2 не параллельны, то через точку В 1 проведём прямую l, параллельную прямой l 1 (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А 2 В 2 и А 3 В 3 в некоторых точках С и D. Так как А 1 А 2 = А 2 А 3 , то по доказанному B 1 C = CB. Отсюда получаем: B 1 B 2 = B 1 B 3 (задача 384). Аналогично можно доказать, что В 2 В 3 = В 3 В 4 и т. д.
Рис. 165
386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
387. Найдите углы В и В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A = 36°, ∠C =117°.
388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.
389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.
390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.
391. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
392. Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4см, b = 7см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а = 10 см, b = 15 см, α = 45°.
393. Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.
Решение
в) Даны три отрезка M 1 N 1 , M 2 N 2 , M 3 N 3 (рис. 166, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M 1 N 1 и M 2 N 2 , а диагональ BD равна отрезку M 3 N 3 . Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94.
Анализ
Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 166, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 . Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.
Построение
Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M 2 N 2 и M 3 N 3 (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 166, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.
Рис. 166
Доказательство
По построению АВ || CD и ВС || AD, поэтому ABCD - параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам и M 2 N 2 , а диагональ BD равна отрезку M 3 N 3 , т. е. параллелограмм ABCD - искомый.
Исследование
Ясно, что если по трём данным отрезкам M 1 N 1 , M 2 N 2 и M 3 N 3 можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 39).
394. Даны три точки А, B и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
395. Даны острый угол hk и два отрезка P 1 Q 1 и P 2 Q 2 . Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P 1 Q 1 , AB = P 2 Q 2 и ∠A = ∠ hk.
396. Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.
Решение
Проведём луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нём от точки А отложим последовательно n равных отрезков АА 1 , А 1 А 2 , ..., А n-1 А n (рис. 167), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рисунке 167 п = 5). Проведём прямую А n B (точка А n - конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А 1 , А 2 , ..., А n-1 и параллельные прямой АпВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В 1 В 2 , ..., B n-1 которые по теореме Фалеса (задача 385) делят отрезок АВ на n равных частей.
Рис. 167
397. Постройте равнобедренную трапецию ABCD:
а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ;
б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.
398. Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.
372. а) 10,5 см, 13,5 см; б) 8,5 см, 15,5 см; в) 8 см, 16 см.
373. 13 см, 12 см, 13 см, 12 см.
375. 56 см или 70 см.
376. a) ∠B = ∠B = 96°, ∠C = 84°; б) ∠А = ∠C = 117°30"; ∠B = ∠D= 62°30"; в) ∠A = ∠C = 71°, ∠B = ∠D =109°; г) ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60°; д) ∠A = ∠C= 53°, ∠B = ∠D = 127°.
377. MN = PQ = 6 cm, NP = QM = 8cm, ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 120°.
379. Указание. Сначала доказать, что BK = DM.
380. Указание. Воспользоваться признаком 2 0 , п. 44.
382. Указание. Воспользоваться признаком 3 0 , п. 44.
383. Указание. Воспользоваться признаком 2 0 , п. 44.
386. Указание. Через середину боковой стороны провести прямую, параллельную основаниям, и воспользоваться задачей 385.
387. ∠B= 144°, ∠D = 63°. 388. Указание. а) Через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную боковой стороне.
389. Указание, а) Воспользоваться указанием к задаче 388, а; б) через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную диагонали.
390. 68°, 112°, 112°. Указание. Воспользоваться задачей 388, а.
391. Указание. Приложить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, меньшее основание одной плитки лежало на одной прямой с большим основанием другой плитки.
392. а) 6 см; б) 5см.
395. Указание. Воспользоваться задачей 284.
1 Фалес Милетский - древнегреческий учёный (ок. 625-547 гг. до н. э.).
