Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль. Рассмотрим некоторые из них.
1) Решение неравенства с помощью геометрического свойства модуля.
Напомню, что такое геометрическое свойство модуля: модуль числа x – это расстояние от начала координат до точки с координатой x.
В ходе решения неравенств этим способом может возникнуть 2 случая:
1. |x| ≤ b,
И неравенство с модулем очевидно сводится к системе двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».
2. |x| ≥ b, тогда картинка решения выглядит так:
И неравенство с модулем очевидно сводится к совокупности двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».
Пример 1.
Решить неравенство |4 – |x|| ≥ 3.
Решение.
Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
U [-1;1] U
Пример 2.
Решить неравенство ||x+2| – 3| ≤ 2.
Решение.
Данное неравенство равносильно следующей системе.
{|x + 2| – 3 ≥ -2
{|x + 2| – 3 ≤ 2,
{|x + 2| ≥ 1
{|x + 2| ≤ 5.
Решим отдельно первое неравенство системы. Оно эквивалентно следующей совокупности:
U [-1; 3].
2) Решение неравенств, используя определение модуля.
Напомню для начала определение модуля.
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0.
Например, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Пример 1.
Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3.
Решение.
Используя определение модуля получим две системы:
{x – 1 ≥ 0
{3(x – 1) ≤ x + 3
{x – 1 < 0
{-3(x – 1) ≤ x + 3.
Решая первую вторую системы в отдельности, получим:
{x ≥ 1
{x ≤ 3,
{x < 1
{x ≥ 0.
Решением исходного неравенства будут все решения первой системы и все решения второй системы.
Ответ: x € .
3) Решение неравенств методом возведения в квадрат.
Пример 1.
Решить неравенство |x 2 – 1| < | x 2 – x + 1|.
Решение.
Возведем обе части неравенства в квадрат. Замечу, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только в том случае, когда они обе положительные. В данном случае у нас и слева и справа стоят модули, поэтому мы можем это сделать.
(|x 2 – 1|) 2 < (|x 2 – x + 1|) 2 .
Теперь воспользуемся следующим свойством модуля: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2 < (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2 < 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1) < 0,
(x – 2)(2x 2 – x) < 0,
x(x – 2)(2x – 1) < 0.
Решаем методом интервалов.
Ответ: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Решение неравенств методом замены переменных.
Пример.
Решить неравенство (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Решение.
Заметим, что (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Тогда получим неравенство
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Сделаем замену y = |2x + 3|.
Перепишем наше неравенство с учетом замены.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Разложим квадратный трехчлен, стоящий слева, на множители.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
Решим методом интервалов и получим:
Вернемся к замене:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Данное двойное неравенство равносильно системе неравенств:
{|2x + 3| ≤ 6
{|2x + 3| ≥ -5.
Решим каждое из неравенств в отдельности.
Первое равносильно системе
{2x + 3 ≤ 6
{2x + 3 ≥ -6.
Решим ее.
{x ≤ 1.5
{x ≥ -4.5.
Второе неравенство очевидно выполняется для всех x, так как модуль по определению число положительное. Так как решение системы – это все x, которые удовлетворяют одновременно и первому и второму неравенству системы, то решением исходной системы будет решение ее первого двойного неравенства (ведь второе верно для всех x).
Ответ: x € [-4,5; 1,5].
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа -6 тоже является 6.
То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.
Обозначается так: |6|, |х |, |а | и т.д.
(Подробнее - в разделе «Модуль числа»).
Уравнения с модулем.
Пример 1 . Решить уравнение |10 х - 5| = 15.
Решение .
В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
10х
- 5 = 15
10х
- 5 = -15
Решаем:
10х
= 15 + 5 = 20
10х
= -15 + 5 = -10
х
= 20: 10
х
= -10: 10
х
= 2
х
= -1
Ответ : х 1 = 2, х 2 = -1.
Пример 2 . Решить уравнение |2 х + 1| = х + 2.
Решение .
Поскольку модуль - число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно:
х ≥ -2.
Составляем два уравнения:
2х
+ 1 = х
+ 2
2х
+ 1 = -(х
+ 2)
Решаем:
2х
+ 1 = х
+ 2
2х
+ 1 = -х
- 2
2х
- х
= 2 - 1
2х
+ х
= -2 - 1
х
= 1
х
= -1
Оба числа больше -2. Значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ : х 1 = -1, х 2 = 1.
Пример 3
. Решить уравнение
|х
+ 3| - 1
————— = 4
х
- 1
Решение .
Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю - значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое - не просто освобождаемся от дроби, а преобрахуем ее так, чтобы получить модуль в чистом виде:
|х + 3| - 1 = 4 · (х - 1),
|х + 3| - 1 = 4х - 4,
|х + 3| = 4х - 4 + 1,
|х + 3| = 4х - 3.
Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше.
Модуль числа есть неотрицательное число - то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство:
4х - 3 ≥ 0
4х ≥ 3
х ≥ 3/4
Таким образом, у нас появилось второе условие: корень уравнения должен быть не меньше 3/4.
В соответствии с правилом, составляем совокупность двух уравнений и решаем их:
х
+ 3 = 4х
- 3
х
+ 3 = -(4х
- 3)
х
+ 3 = 4х
- 3
х
+ 3 = -4х
+ 3
х
- 4х
= -3 - 3
х
+ 4х
= 3 - 3
х
= 2
х
= 0
Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения.
У нас было два условия: корень уравнения не может быть равен 1, и он должен быть не меньше 3/4. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов - число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения.
Ответ : х = 2.
Неравенства с модулем.
Пример 1 . Решить неравенство | х - 3| < 4
Решение .
Правило модуля гласит:
|а | = а , если а ≥ 0.
|а | = -а , если а < 0.
Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая: х - 3 ≥ 0 и х - 3 < 0.
1) При х
- 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля:
х
- 3 < 4.
2) При х - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(х - 3) < 4.
Раскрыв скобки, получаем:
-х + 3 < 4.
Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств:
х
- 3 ≥ 0
х
- 3 < 4
х
- 3 < 0
-х
+ 3 < 4
Решим их:
х
≥ 3
х
< 7
х
< 3
х
> -1
Итак, у нас в ответе объединение двух множеств:
3 ≤ х < 7 U -1 < х < 3.
Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это -1 и 7. При этом х
больше -1, но меньше 7.
Кроме того, х
≥ 3. Значит, решением неравенства является все множество чисел от -1 до 7, исключая эти крайние числа.
Ответ : -1 < х < 7.
Или: х ∈ (-1; 7).
Дополнения .
1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства - графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1).
Выражение |х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа - к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их.
При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ:
1 < х < 7.
2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде:
4 < х - 3 < 4.
Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число -4 являются границами решения неравенства.
4 + 3 < х < 4 + 3
1 < х < 7.
Пример 2 . Решить неравенство | х - 2| ≥ 5
Решение .
Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны -3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ.
Ответ : -3 ≥ х ≥ 7.
Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком:
5 ≥ х - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2
Ответ тот же: -3 ≥ х ≥ 7.
Или: х ∈ [-3; 7]
Пример решен.
Пример 3 . Решить неравенство 6 х 2 - | х | - 2 ≤ 0
Решение .
Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля:
6х 2 - х - 2 ≤ 0.
Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6х 2 - (-х ) - 2 ≤ 0.
Раскрываем скобки:
6х 2 + х - 2 ≤ 0.
Таким образом, мы получили две системы уравнений:
6х
2 - х
- 2 ≤ 0
х
≥ 0
6х
2 + х
- 2 ≤ 0
х
< 0
Надо решить неравенства в системах - а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.
Начнем с первого:
6х 2 - х - 2 = 0.
Как решается квадратное уравнение - см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:
х 1 = -1/2, х 2 = 2/3.
Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от -1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х
≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Теперь решим второе квадратное уравнение:
6х 2 + х - 2 = 0.
Его корни:
х 1 = -2/3, х 2 = 1/2.
Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от -2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа.
Ответ : -2/3 ≤ х ≤ 2/3.
Или: х ∈ [-2/3; 2/3].
Математика является символом мудрости науки ,
образцом научной строгости и простоты ,
эталоном совершенства и красоты в науке.
Российский философ, профессор А.В. Волошинов
Неравенства с модулем
Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются неравенства , содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких неравенств необходимо хорошо знать свойства модуля и иметь навыки их использования.
Основные понятия и свойства
Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:
К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:
И .
Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.
Кроме того , если , где , то и
Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений и неравенств с модулями , формулируются посредством следующих теорем:
Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство .
Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .
Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .
Наиболее распространенными в школьной математике неравенствами , содержащие неизвестные переменные под знаком модуля , являются неравенства вида и , где некоторая положительная константа.
Теорема 4. Неравенство равносильно двойному неравенству , а решение неравенства сводится к решению совокупности неравенств и .
Данная теорема является частным случаем теорем 6 и 7.
Более сложными неравенствами , содержащие модуль, являются неравенства вида , и .
Методы решения таких неравенств можно сформулировать посредством следующих трех теорем.
Теорема 5. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств
И (1)
Доказательство. Так как , то
Отсюда вытекает справедливость (1).
Теорема 6. Неравенство равносильно системе неравенств
Доказательство. Так как , то из неравенства следует , что . При таком условии неравенство и при этом вторая система неравенств (1) окажется несовместной.
Теорема доказана.
Теорема 7. Неравенство равносильно совокупности одного неравенства и двух систем неравенств
И (3)
Доказательство. Поскольку , то неравенство всегда выполняется , если .
Пусть , тогда неравенство будет равносильно неравенству , из которого вытекает совокупность двух неравенств и .
Теорема доказана.
Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Неравенства , содержащие переменные под знаком модуля».
Решение неравенств с модулем
Наиболее простым методом решения неравенств с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. Поэтому учащиеся должны знать и другие (более эффективные) методы и приемы решения таких неравенств. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.
Пример 1. Решить неравенство
. (4)
Решение. Неравенство (4) будем решать «классическим» методом – методом раскрытия модулей. С этой целью разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.
1. Если , то , , , и неравенство (4) принимает вид или .
Так как здесь рассматривается случай , то является решением неравенства (4).
2. Если , то из неравенства (4) получаем или . Так как пересечение интервалов и является пустым , то на рассматриваемом интервале решений неравенства (4) нет.
3. Если , то неравенство (4) принимает вид или . Очевидно , что также является решением неравенства (4).
Ответ: , .
Пример 2. Решить неравенство .
Решение. Положим , что . Так как , то заданное неравенство принимает вид или . Поскольку , то и отсюда следует или .
Однако , поэтому или .
Пример 3. Решить неравенство
. (5)
Решение. Так как , то неравенство (5) равносильно неравенствам или . Отсюда , согласно теореме 4 , имеем совокупность неравенств и .
Ответ: , .
Пример 4. Решить неравенство
. (6)
Решение. Обозначим . Тогда из неравенства (6) получаем неравенства , , или .
Отсюда , используя метод интервалов , получаем . Так как , то здесь имеем систему неравенств
Решением первого неравенства системы (7) является объединение двух интервалов и , а решением второго неравенства – двойное неравенство . Отсюда следует , что решение системы неравенств (7) представляет собой объединение двух интервалов и .
Ответ: ,
Пример 5. Решить неравенство
. (8)
Решение. Преобразуем неравенство (8) следующим образом:
Или .
Применяя метод интервалов , получаем решение неравенства (8).
Ответ: .
Примечание. Если в условии теоремы 5 положить и , то получим .
Пример 6. Решить неравенство
. (9)
Решение. Из неравенства (9) следует . Преобразуем неравенство (9) следующим образом:
Или
Так как , то или .
Ответ: .
Пример 7. Решить неравенство
. (10)
Решение. Так как и , то или .
В этой связи и неравенство (10) принимает вид
Или
. (11)
Отсюда следует, что или . Так как , то и из неравенства (11) вытекает или .
Ответ: .
Примечание. Если к левой части неравенства (10) применить теорему 1 , то получим . Отсюда и из неравенства (10) следует , что или . Так как , то неравенство (10) принимает вид или .
Пример 8. Решить неравенство
. (12)
Решение. Так как , то и из неравенства (12) следует или . Однако , поэтому или . Отсюда получаем или .
Ответ: .
Пример 9. Решить неравенство
. (13)
Решение. Согласно теореме 7 решением неравенства (13) являются или .
Пусть теперь . В таком случае и неравенство (13) принимает вид или .
Если объединить интервалы и , то получим решение неравенства (13) вида .
Пример 10. Решить неравенство
. (14)
Решение. Перепишем неравенство (14) в равносильном виде: . Если к левой части данного неравенства применить теорему 1, то получим неравенство .
Отсюда и из теоремы 1 следует , что неравенство (14) выполняется для любых значений .
Ответ: любое число.
Пример 11. Решить неравенство
. (15)
Решение. Применяя теорему 1 к левой части неравенства (15) , получаем . Отсюда и из неравенства (15) вытекает уравнение , которое имеет вид .
Согласно теореме 3 , уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем .
Пример 12. Решить неравенство
. (16)
Решение . Из неравенства (16), согласно теореме 4, получаем систему неравенств
При решении неравенства воспользуемся теоремой 6 и получим систему неравенств из которой следует .
Рассмотрим неравенство . Согласно теореме 7 , получаем совокупность неравенств и . Второе неравенство совокупности справедливо для любого действительного .
Следовательно , решением неравенства (16) являются .
Пример 13. Решить неравенство
. (17)
Решение. Согласно теореме 1 можно записать
(18)
Принимая во внимание неравенство (17), делаем вывод о том, что оба неравенства (18) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений
По теореме 3 данная система уравнений равносильна системе неравенств
или
Пример 14. Решить неравенство
. (19)
Решение. Так как , то . Умножим обе части неравенства (19) на выражение , которое для любых значений принимает только положительные значения. Тогда получим неравенство, которое равносильно неравенству (19), вида
Отсюда получаем или , где . Так как и , то решением неравенства (19) являются и .
Ответ: , .
Для более глубокого изучения методов решения неравенств с модулем можно посоветовать обратиться к учебным пособиям , приведенных в списке рекомендованной литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: методы решения и доказательства неравенств. – М.: Ленанд / URSS , 2018. – 264 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
