Тема: Линейная функция
Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.
Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.
Уравнение вида:
Где a, b, с - числа, причем
Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.
Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.
У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.
Рассмотрим пример:
Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:
Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:
,
То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)
Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: 
, отсюда , получили точку В(3; 0)
Занесем пары чисел в таблицу:
Построим на графике точки и проведем прямую:
Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.
Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.
Пример 2 - построить график уравнения:
Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:
В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:
, ,
Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:
, , ,
Возьмем для проверки и найдем у:
, ,
Построим график:
Умножим заданное уравнение на два:
От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.
Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
2. Портал для семейного просмотра ().
Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;
Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;
Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Линейная функция 7 класс алгебра Урок № 6 -7. Координатная плоскость. Линейное уравнение с двумя переменными и его график 06.07.2012 1 www.konspekturoka.ru
Цели: 06.07.2012 Напомнить понятие координатной плоскости. Рассмотреть изображение точки на координатной плоскости. Дать понятие об уравнении с двумя переменными, их решение и графике уравнения. Научить строить график линейного уравнения с двумя переменными. Изучить алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными. 2 www.konspekturoka.ru
O x y 1 Две взаимно перпендикулярные числовые оси образуют прямоугольную систему координат 1 - 1 - 1 I II III I V Координатные углы Ординат (ось оу) Абсцисс (ось ох) Вспомним! 06.07.2012 3 www.konspekturoka.ru
O x y 1 х = -3 У = 3 х = -5 у = -2 Х = 4 у = -5 х = 2 У = 5 06.07.2012 www.konspekturoka.ru 4 Вспомним! Алгоритм отыскания координат точки М(a ; b) Провести через точку прямую, параллельную оси у, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью х – это и будет абсцисса точки. 2. Провести через точку прямую, параллельную оси х, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью у - это и будет ордината точки. А В 5 2 С 4 -5 М -2 -5 3 -3 В(2;5); С(4;-5); М(-5;-2); А(-3;3)
A (-4; 6) B (5; -3) C (2; 0) D (0; -5) Вспомним! Алгоритм построения точки М(a ; b) Построить прямую х = а. Построить прямую у = b. Найти точку пересечения построенных прямых – это и будет точка М(а; b) 6 -4 5 -3 -5 2 06.07.2012 5 www.konspekturoka.ru
06.07.2012 www.konspekturoka.ru 6 Уравнение вида: a х + b = 0 называется линейным уравнением с одной переменной (где х – переменная, а и b некоторые числа). Внимание! х – переменная входит в уравнение обязательно в первой степени. (45 - у) + 18 = 58 линейное уравнением с одной переменной 3х² + 6х + 7 = 0 не линейное уравнением с одной переменной Вспомним!
ах + by + c = 0 Линейное уравнение с двумя переменными 06.07.2012 7 www.konspekturoka.ru Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством. Уравнение вида: называется линейным уравнением с двумя переменными (где х, у - переменные, а, b и с - некоторые числа). (х; y)
06.07.2012 www.konspekturoka.ru 8 Решить линейное уравнение с одной переменной – это значит найти те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. (х; y)- ? Таких решений бесконечно много.
06.07.2012 www.konspekturoka.ru 9 Линейное уравнение с двумя переменными обладают свойствами, как уравнения с одной переменной Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на число (не равное нулю), то получится равносильное уравнение.
06.07.2012 www.konspekturoka.ru 10 Равносильные уравнения Так как член 4у³ перенесен из левой части в правую Уравнения с двумя переменными имеющие одни и те же корни, называют равносильными.
06.07.2012 www.konspekturoka.ru 11 O x y 1 Пример 1 Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у – 3 = 0 точками в координатной плоскости. 1. Подберем несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5). 2. Построим в хОу точки: А(3; 0), В(2; 1), С(1; 2), Е(0; 3), М(-2; 5). 3 Е(0; 3) 1 2 С(1; 2) 1 2 В(2; 1) 3 А(3; 0) -2 5 М(-2; 5) 3. Соединим все точки. Внимание! Все точки лежат на одной прямой. В дальнейшем: для построения прямой достаточно 2 точки m m - график уравнения х + у - 3 = 0 Говорят: т – геометрическая модель уравнения х + у – 3 = 0 -4 7 Р(-4; 7) Р(-4; 7) – пара, которая принадлежит прямой и есть решением уравнения
06.07.2012 www.konspekturoka.ru 12 Вывод: Если (-4; 7) – пара чисел, удовлетворяет уравнению, то точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т. Если точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т, то пара(-4;7) - есть решением уравнения. Наоборот:
06.07.2012 www.konspekturoka.ru 13 Теорема: Графиком любого линейного уравнения ах + by + c = 0 есть прямая. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек. Реальная ситуация (словесная модель) Алгебраическая модель Геометрическая модель Сумма двух чисел равна 3. х + у = 3 (линейное уравнение с двумя переменными) прямая т (график линейного уравнения с двумя переменными) х + у – 3 = 0
06.07.2012 www.konspekturoka.ru 14 x y 1 Пример 2 Построить график уравнения 3 х - 2у + 6 = 0 1. Пусть х = 0, подставим в уравнение 3· 0 - 2у + 6 = 0 - 2у + 6 = 0 - 2у = - 6 у = - 6: (-2) у = 3 (0;3) - пара чисел, есть решением 2. Пусть у = 0, подставим в уравнение 3· х - 2· 0 + 6 = 0 3х + 6 = 0 3х = - 6 х = - 6: 3 х = - 2 (-2;0) - пара чисел, есть решением 3. Построим точки и соединим прямой 0 3 -2 3 х - 2у + 6 = 0
06.07.2012 www.konspekturoka.ru 15 Алгоритм построения графика уравнения ах + b у + c = 0 Придать переменной х конкретное значение х ₁; найти из уравнения ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₁. Получим (х₁;у₁). 2. Придать переменной х конкретное значение х ₂; найти из уравнения ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₂. Получим (х ₂ ;у ₂). 3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁), (х ₂ ; у₂) и соединим прямой. 4. Прямая – есть график уравнения.
06.07.2012 16 www.konspekturoka.ru Ответить на вопросы: Что называется координатной плоскостью? Какой алгоритм нахождения координат точки на координатной плоскости? Какой алгоритм построения точки на координатной плоскости? Сформулируйте основные свойства уравнений. Какие уравнения называются равносильными? Что является решением линейного уравнения с двумя переменными? 7. Какой алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными?
§ 1 Отбор корней уравнения при реальных ситуациях
Рассмотрим такую реальную ситуацию:
Мастер и ученик вместе изготовили на заказ 400 деталей. Причём мастер работал 3 дня, а ученик 2 дня. Сколько деталей изготовил каждый?
Составим алгебраическую модель данной ситуации. Пусть мастер изготавливает за 1 деньхдеталей. А ученик у деталей. Тогда мастер за 3 дня изготовит 3х деталей, а ученик изготовит за 2 дня 2у деталей. Вместе они изготовят 3х + 2удеталей. Так как по условию всего изготовлено 400 деталей, то получим уравнение:
Полученное уравнение называют линейным уравнением с двумя переменными. Здесь нам надо найти пару чисел х и у, при которых уравнение примет вид верного числового равенства. Заметим, что если х= 90, у = 65, то получим равенство:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Так как получено верное числовое равенство, то пара чисел 90 и 65 будет являться решением этого уравнения. Но найденное решение не единственно. Если х = 96 и у = 56, то получаем равенство:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Это тоже верное числовое равенство, а, значит, пара чисел 96 и 56 так же является решением этого уравнения. А вот пара чисел х= 73и у= 23 не будет являться решением этого уравнения. В самом деле, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 даст нам неверное числовое равенство 265 = 400.Необходимо отметить, что если рассматривать уравнение применительно к данной реальной ситуации, то будут существовать пары чисел, которые, являясь решением данного уравнения, не будут являться решением задачи. Например, пара чисел:
х = 200 и y = -100
является решением уравнения, но ученик не может сделать -100 деталей, а поэтому такая пара чисел ответом на вопрос задачи быть не может. Таким образом, в каждой конкретной реальной ситуации необходимо разумно подходить к отбору корней уравнения.
Подведём первые итоги:
Уравнение вида ах + bу + с = 0, где а, b, с - любые числа, называют линейным уравнением с двумя переменными.
Решением линейного уравнения с двумя переменными называют пару чисел соответствующих х и у, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство.
§ 2 График линейного уравнения
Сама запись пары (х;у) наталкивает нас на мысль о возможности изображения её в виде точки с координатами хи у на плоскости. А значит, мы можем получить геометрическую модель конкретной ситуации. Например, рассмотрим уравнение:
2х + у - 4 = 0
Подберём несколько пар чисел, которые будут являться решениями этого уравнения и построим точки с найденными координатами. Пусть это будут точки:
А(0; 4), В(2; 0), С(1; 2), D(-2; 8), Е(- 1; 6).
Заметим, что все точки лежат на одной прямой. Такую прямую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными. Она является графической (или геометрической) моделью данного уравнения.
Если пара чисел (х;у) является решением уравнения
ах + ву + с = 0, то точка М(х;у) принадлежит графику уравнения. Можно сказать и наоборот: если точка М(х;у) принадлежат графику уравнения ах + ву + с = 0, то пара чисел (х;у) является решением этого уравнения.
Из курса геометрии мы знаем:
Для построения прямой необходимо 2 точки, поэтому для построения графика линейного уравнения с двумя переменными достаточно знать всего 2 пары решений. Но угадывание корней процедура далеко не всегда удобная, не рациональная. Можно действовать и по другому правилу. Поскольку абсцисса точки (переменная х) это независимая переменная, то можно придать ей любое удобное значение. Подставив это число в уравнение, мы найдём значение переменной у.
Например, пусть дано уравнение:
Пусть х = 0, тогда получим 0 - у + 1 = 0 или у = 1. Значит, если х = 0, то у = 1. Пара чисел (0;1) - решение этого уравнения. Зададим для переменной х ещё одно значение х = 2. Тогда получим 2 - у + 1 = 0 или у = 3. Пара чисел (2;3) также является решением этого уравнения. По двум найденным точкам уже можно построить график уравнения х - у + 1 =0.
Можно поступить и так: сначала придать некоторое конкретное значение переменной у, а уж потом вычислить значение х.
§ 3 Система уравнений
Найдите два натуральных числа, сумма которых 11, а разность 1.
Для решения этой задачи сначала составим математическую модель (а именно алгебраическую). Пусть первое число х, а второе - у. Тогда сумма чисел х + у = 11 и разность чисел х - у = 1. Так как в обоих уравнениях речь идёт об одних и тех же числах, то данные условия должны выполниться одновременно. Обычно в таких случаях используют специальную запись. Уравнения записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой.
Такую запись называют системой уравнений.
Теперь построим множества решений каждого уравнения, т.е. графики каждого из уравнений. Возьмём первое уравнение:
Если х =4, то у = 7. Если х = 9, то у = 2.
Через точки (4;7) и (9;2) проведём прямую.
Возьмём второе уравнение х - у = 1. Если х = 5, то у = 4. Если х = 7, то у = 6. Через точки (5;4) и (7;6) так же проведём прямую. Получили геометрическую модель задачи. Интересующая нас пара чисел (х;у) должна являться решением обоих уравнений. На рисунке мы видим единственную точку, которая лежит на обеих прямых, это - точка пересечения прямых.
Её координаты (6;5). Поэтому решением задачи будет: первое искомое число 6, второе 5.
Список использованной литературы:
Тема: Линейная функция
Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.
Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.
Уравнение вида:
Где a, b, с - числа, причем
Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.
Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.
У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.
Рассмотрим пример:
Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:
Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:
,
То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)
Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)
Занесем пары чисел в таблицу:
Построим на графике точки и проведем прямую:
Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.
Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.
Пример 2 - построить график уравнения:
Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:
В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:
, ,
Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:
, , ,
Возьмем для проверки и найдем у:
, ,
Построим график:
Умножим заданное уравнение на два:
От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.
Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
2. Портал для семейного просмотра ().
Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;
Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;
Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;
