Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.
Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).
Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .
Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R
Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R
Площадь круга : S=\pi R^{2}
Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.
Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.
Длину дуги можно найти по формуле:
Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.
В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.
Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .
Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.
Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.
AC = CB
Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
AC^{2} = CD \cdot BC
Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}
Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.
Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}
Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.
Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.
Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.
В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.
Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.
Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:
S = pr ,
p — полупериметр многоугольника,
r — радиус вписанной окружности.
Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
r = \frac{S}{p}
Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.
AB + DC = AD + BC
В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
r = \frac{S}{p} ,
где p = \frac{a + b + c}{2}
Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .
В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.
Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.
Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}
Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.
Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:
R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}
R = \frac{abc}{4 S}
a , b , c — длины сторон треугольника,
S — площадь треугольника.
Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.
Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Углом называется геометрическая фигура, которая образована двумя лучами – сторонами угла, исходящими из одной точки – вершины угла. Обычно для построения плоского угла в планиметрии используется транспортир, с помощью которого можно легко отложить угол с заданной градусной мерой, но как быть, если под рукой этого инструмента нет?Для построения угла можно воспользоваться тригонометрическими функциями и построением прямоугол ьного треугол ьника.
Вам понадобится
Инструкция
Пусть стоит задача построить угол
некоторой размерности?.
Построим отрезок AB произвольной . Использую соотношение катетов в угол
ьном треугол
ьнике можно BC этого треугол
ьника BC = AB tg?, тангенса угла? можно узнать по .
Далее от точки A необходимо отложить отрезок длины BC перпендикулярно отрезку AB.
Видео по теме
Обратите внимание
Для построения углов ∠α ≥ 90º, необходимо построить угол ∠β
Все чаще в повседневной практике приходится решать задачи, которые когда-то как семечки щелкали на уроках математики, но по прошествии лет, что-то подзабылось. Нахождение длины дуги окружности - одна из задач, с которой человек может столкнуться в жизни.
Вам понадобится
Инструкция
Для начала нужно определиться с понятиями. Окружность - это множество всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоянии от некоторой данной точки плоскости, называемой центром (точка О). Дуга - часть окружности , расположенная между А и В этой окружности , где ОА и ОВ радиусы этой окружности . Чтобы различать эти дуги , на каждой из них отмечают промежуточную L и М. Таким образом, получаем две дуги ALB и AMB.
Итак, дуга окружности
определяется радиусом окружности
r и центральным углом?. Зная эти два , несложно длину
дуги
L по формуле:
L = ?r?/180
где? - числовая константа равная 3,14.
Подставив в формулу значения?, r, ? и вооружившись калькулятором, вы легко вычислите длину
дуги
L.
Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.
Инструкция
Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит , если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют , вычислить величину одной из них можно по формуле: a = √S.
Проектировщикам приходится рассчитывать длину дуги, знач только предположительную высоту моста или перекрытия и длину пролета. В этом случае сделайте чертеж. Пролет будет являться хордой, а высота - частью радиуса. Проведите ее из самой верхней точки будущей арки перпендикулярно к и продолжите дальше, до предполагаемого центра окружности. Высота делит пополам. Центр соедините с концами , получив таким образом еще 2 радиуса. Вычислите радиус по теореме Пифагора, то есть R=√a2+(R-h)2.
Обратите внимание
Две точки делят окружность на две дуги. В задании может быть указано, длину какой из них нужно найти. В этом случае необходимо вычислить больший угол, отняв от полного угла заданный острый.
При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой , то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.
Инструкция
Первый случай (). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.
Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).
Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).
Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный первого рода (по длине дуги). Криволинейные вычисляют их определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что появится слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).
Источники:
Дугой называется часть окружности. Окружность - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой центром. В бытовых ситуациях, когда погрешность не важна и измерения затруднены, длину дуги иногда измеряют с помощью мягкого материала, например нити, который повторяет форму дуги , а затем выпрямляется и измеряется. Для серьёзных измерений такой метод неприемлем.
Инструкция
Если длина дуги (l) между крайними точками, задающими хорду, известна, а кроме нее в условиях дан и радиус окружности (R), задачу вычисления длины хорды (m) можно свести к расчету длины основания равнобедренного треугольника. Боковые стороны этого треугольника будут двумя радиусами окружности, а угол между ними будет центральным углом, который вам и нужно рассчитать в первую очередь. Для этого разделите длину дуги на радиус: l/R. Полученный результат выражен в радианах. Если вам удобнее производить вычисления , будет значительно сложнее - сначала умножьте длину дуги на 360, а затем поделите результат на удвоенное произведение Пи на радиус: l*360/(2*π*R) = l*180/(π*R).
Выяснив величину центрального угла, рассчитайте длину хорды . Для этого удвоенный радиус умножьте на синус половины центрального угла. Если вы выбрали расчеты в градусах, в общем виде полученную формулу запишите так: m = 2*R*sin(l*90/(π*R)). Для расчетов в радианах она будет содержать на одно математическое действие меньше m = 2*R*sin(l/(2*R)). Например, при длине дуги в 90 см и радиусе 60 см должна иметь длину 2*60*sin(90*90/(3,14*60)) = 120*sin(8100/188,4) = 120*sin(42,99°) ≈ 120*0,68 = 81,6 см при точности расчетов до двух после запятой.
Если в дополнение к длине дуги (l) в условиях задачи дана полная (L), выразите через нее радиус, разделив на удвоенное Пи. Затем подставьте это выражение в общую формулу из предыдущего шага: m = 2*(L/(2*π))*sin(l*90/(π*L/(2*π))). После упрощения выражения у вас должно получиться равенство для расчетов в градусах: m = L/π*sin(l*180/L). Для вычислений в радианах оно будет выглядеть так: m = L/π*sin(l*π/L). Например, если длина дуги составляет 90 см, а длина окружности - 376,8 см, длина хорды составит 376,8/3,14*sin(90*180/376,8) = 120*sin(42,99°) ≈ 120*0,68 = 81,6 см.
Понятие хорда в школьном курсе геометрии связано с понятием окружность.Окружностью называется плоская фигура, составленная из всех точек этой плоскости равностоящих от заданной плоскости. Радиусом окружности называется расстояние от центра до любой точки лежащей на ней.Ходой называется отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности.
Инструкция
Для получения длины произвольной хорды необходимо ввести дополнительное .
Угол с вершиной в центре окружности центральным углом этой окружности.
Если известна градусная мера центрального угла??, то длина хорды, на которую она опирается, рассчитывается по формулам
h = 2 * R * sin(??/2)
h = R * v(2 * (1 - cos??))
h = 2 * R * cos??, где?? = (П - ??)/2, П – П
Видео по теме
Все чаще в повседневной практике приходится решать задачи, которые когда-то как семечки щелкали на уроках математики, но по прошествии лет, что-то подзабылось. Нахождение длины дуги окружности - одна из задач, с которой человек может столкнуться в жизни.
Вам понадобится
Инструкция
Для начала нужно определиться с понятиями. Окружность - это множество всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоянии от некоторой данной точки плоскости, называемой центром (точка О). Дуга - часть окружности , расположенная между А и В этой окружности , где ОА и ОВ радиусы этой окружности . Чтобы различать эти дуги , на каждой из них отмечают промежуточную L и М. Таким образом, получаем две дуги ALB и AMB.
Итак, дуга окружности
определяется радиусом окружности
r и центральным углом?. Зная эти два , несложно длину
дуги
L по формуле:
L = ?r?/180
где? - числовая константа равная 3,14.
Подставив в формулу значения?, r, ? и вооружившись калькулятором, вы легко вычислите длину
дуги
L.
Необходимость вычислить длину дуги может возникнуть при выполнении самых разнообразных проектных работ. Это разработка арочных перекрытий, строительство мостов и тоннелей, прокладка автомобильных и железнодорожных путей и многое другое. Исходные условия для решения этой задачи могут быть очень разными. Для того, чтобы наиболее оптимальным способом вычислить длину дуги, необходимо знать радиус окружности и центральный угол.
Вам понадобится
Инструкция
Постройте окружность с заданным радиусом. Принципы ее построение в AutoCAD те же самые, что и на листе бумаги. Освоив способы построения разных геометрических фигур классическим способом, вы очень быстро поймете, как это делается на компьютере. Разница заключается в том, что при обычном построении с помощью циркуля вы находите центр окружности по точке, куда ставится иголка. В AutoCAD найдите в верхнем меню кнопку «arc” или «Дуга». Выберите построение по центру, начальной точке и углу и введите нужные параметры. Обозначьте центр окружности как О.
С помощью карандаша и линейки или компьютерной мыши проведите радиус. Если вы чертите на листе, то с помощью транспортира отложите заданный размер угла. Для этого нулевую отметку транспортира совместите с точкой О, отметьте нужный угол и проведите через полученную точку второй радиус. Угол обозначьте как α. Можно назвать его и АОВ, если соответствующими буквами отметить точки пересечения с окружностью. Вам нужно найти длину дуги АВ.
Если размер угла задан в градусах, то длина дуги равна удвоенному произведению радиуса окружности на коэффициент π и на соотношение угла α к полному центрального угла окружность. Он составляет 360°. То есть ее можно найти по формуле L=2πRα/360°, где L – искомая длина дуги, R- радиус окружности, а α – размер угла в градусах. Угол может быть задан и в . Тогда длина дуги равна произведению радиуса на угол, то есть L=Rα. В этом случае остальная часть формулы уже сократилась при переводе градусов в .
Проектировщикам приходится рассчитывать длину дуги, знач только предположительную высоту моста или перекрытия и длину пролета. В этом случае сделайте чертеж. Пролет будет являться хордой, а высота - частью радиуса. Проведите ее из самой верхней точки будущей арки перпендикулярно к и продолжите дальше, до предполагаемого центра окружности. Высота делит
Часть фигуры, которая образует окружность, точки которой равноудалены, называется дугой. Если из точки центра окружности, провести лучи в точки, совпадающие с концами дуги, будет образован её центральный угол.
Определение длины дуги
Производится по следующей формуле:
где L – искомая длина дуги, π = 3,14 , r – радиус окружности, α – центральный угол.
| L | 3,14 × 10 × 85 |
14,82 |
Длина дуги окружности равна 14,82 сантиметра.
В элементарной геометрии под дугой понимается подмножество окружности, расположенной между двумя расположенными на ней точками. На практике решать задачи по определению ее длины инженерам и архитекторам приходится достаточно часто, поскольку этот геометрический элемент широко распространен в самых разнообразных конструкциях.
Пожалуй, первым, перед кем встала эта задача, были древние зодчие, которым так или иначе приходилось определять этот параметр для сооружения сводов, широко используемых для перекрытия промежутков между опорами в круглых, многоугольных или эллиптических зданиях. Если внимательно присмотреться к дошедшим до наших дней шедеврам древнегреческого, древнеримского и особенно арабского зодчества, то можно заметить, что в их конструкциях дуги и своды встречаются чрезвычайно часто. Творения современных архитекторов ими не так богаты, но эти геометрические элементы наличествуют, конечно же, и в них.
Длину различных дуг необходимо рассчитывать при сооружении автомобильных и железных дорог, а также автодромов, причем во многих случаях от правильности и точности вычислений во многом зависит безопасность движения. Дело в том, что многие повороты магистралей с точки зрения геометрии представляют собой именно дуги, и по движению по ним на транспорт воздействуют различные физические силы. Параметры их результирующей во многом определяются длиной дуги, а также ее центральным углом и радиусом.
Конструкторам машин и механизмов приходится вычислить длины различных дуг для правильной и точной компоновки составных частей различных агрегатов. В данном случае ошибки в расчетах чреваты тем, что важные и ответственные детали будут неправильно взаимодействовать друг с другом и механизм просто не сможет функционировать так, как планируют его создатели. В качестве примеров конструкций, изобилующих такими геометрическими элементами, как дуги, можно привести двигатели внутреннего сгорания, коробки переключения передач, дерево- и металлообрабатывающее оборудование, кузовные элементы легковых и грузовых автомобилей и т.д.
Дуги достаточно широко встречаются в медицине, в частности, в стоматологии. Например, они используются для исправления неправильного прикуса. Корректирующие элементы, называемые брекетами (или брекет-системами) и имеющие соответствующую форму, изготавливаются из специальных сплавов, и устанавливаются таким образом, чтобы изменить положение зубов. Само собой разумеется, что для того, чтобы лечение проходило успешно, эти дуги должны быть очень точно рассчитаны. Кроме того, дуги очень широко используются в травматологии, и, пожалуй, самым ярким примером тому является знаменитый аппарат Илизарова, изобретенный российским врачом в 1951 году и чрезвычайно успешно используемый по сей день. Неотъемлемыми его частями являются металлические дуги, снабженные отверстиями, через которые продеваются специальные спицы, и являющиеся основными опорам всей конструкции.
На рисунке показана схема простого усилителя мощности класса А на транзисторах. Усилитель имеет выходную мощность порядка 20Вт на 8 Ом нагрузке. Напряжение питания может быть в пределах от 22В до 28В (4А). Источник — http://www.eleccircuit.com/class-a-amplifier-by-transistor/
Данный усилитель предназначен для усиления мощности передатчика карманной радиостанции в диапазоне 144 МГц. При подачи на его вход сигнала мощностью 0,05Вт и питании 24В усилитель выдает мощность 5-6Вт, а при питании его напряжением 12В он выдает 3-4Вт. Входное и выходное сопротивления равны 50 Ом. Описание: первый каскад работает в классе …
В промышленных аппаратах используют разные способы регулировки тока: шунтирование с помощью дросселей всевозможных типов, изменение магнитного потока за счет подвижности обмоток или магнитного шунтирования, применение магазинов активных балластных сопротивлений и реостатов. К недостаткам такой регулировки надо отнести сложность конструкции, громоздкость сопротивлений, их сильный нагрев при работе, неудобство при переключении. Наиболее …
На рисунке показана схема простого преобразователя напряжения на TL496. Преобразователь преобразует постоянное напряжение 3В в постоянное напряжение 9В. Преобразователь напряжения весьма прост, он состоит из микросхемы TL496 и конденсатора и дросселя на 50мкГн. Выходной ток преобразователя может достигать 400мА (не гарантировано выходное напряжение 9В). Ток потребления преобразователя без нагрузки 125мкА.
