План урока:
Проверка индивидуального домашнего задания.
II. Актуализация опорных знаний учащихся
1. Взаимотренаж. Контрольные вопросы (парная
организационная форма работы – взаимопроверка).
2. Устная работа с комментированием (групповая
организационная форма работы).
3. Самостоятельная работа (индивидуальная
организационная форма работы, самопроверка).
III. Сообщение темы урока
Групповая организационная форма работы, выдвижение гипотезы, формулирование правила.
1. Выполнение тренировочных заданий по учебнику
(групповая организационная форма работы).
2. Работа сильных обучающихся по карточкам
(индивидуальная организационная форма работы).
VI. Физпауза
IX. Домашнее задание.
Цель: формирование навыка сложения чисел с разными знаками.
Задачи:
Материал к уроку: карточки для взаимотренажа, таблицы результатов работы, индивидуальные карточки на повторение и закрепление материала, девиз для индивидуальной работы, карточки с правилом.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– Начнём урок с проверки
индивидуального домашнего задания. Девизом
нашего урока будут слова Яна Амоса Каменского.
Дома вам нужно было подумать над его словами. Как
вы его понимаете? («Считай несчастным тот день
или тот час, в который ты не усвоил ничего нового
и ничего не прибавил к своему образованию»)
–
Как вы понимаете слова автора? (Если мы
не узнаём ничего нового, не получаем новые
знания, то этот день можно считать пропавшим или
несчастным. Надо стремиться к получению новых
знаний).
– И сегодняшний день не будет несчастным потому,
что мы опять будем узнавать что-то новое.
II. Актуализация опорных знаний учащихся
– Для того чтобы изучать новый материал, надо
повторить пройденный.
Дома было задание – повторить правила и сейчас
вы покажете свои знания, поработав с
контрольными вопросами.
(Контрольные вопросы по теме «Положительные и отрицательные числа»)
Работа в паре. Взаимопроверка. Результаты работы отмечают в таблице)
| Как называются числа расположенные справа от начала координат? | Положительные |
| Какие числа называют противоположными? | Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными |
| Что называют модулем числа? | Расстояние от точки А(а) до начала отсчёта, т. е. до точки О(0), называют модулем числа |
| Как обозначают модуль числа? | Прямыми скобками |
| Сформулируй правило сложения отрицательных чисел? | Чтобы сложить два отрицательных числа надо: сложить их модули и поставить знак минус |
| Как называются числа расположенные слева от начала координат? | Отрицательные |
| Какое число противоположно нулю? | 0 |
| Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом? | Нет. Расстояние не бывает отрицательным |
| Назови правило сравнения отрицательных чисел | Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше и меньше то, у которого модуль больше |
| Чему равна сумма противоположных чисел? | 0 |
Ответы на вопросы «+» правильно, «–» неправильно Критерии оценки: 5 – «5»; 4 – «4»;3 – «3»
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Оценка | |
| К/вопросы | ||||||
| Сам/работа | ||||||
| Инд/ работа | ||||||
| Итог |
– Какие вопросы были наиболее трудными?
– Что нужно для успешной сдачи контрольных
вопросов? (Знать правила)
2. Устная работа с комментированием
– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)
– Какие знания вам были нужны для решения 1-5 примеров?
3. Самостоятельная работа
| – 86, 52 + (– 6, 3) = | – 92,82 |
| – 49/91 + (– 27/91) = | – 76/91 |
| – 76 + (– 99) = | – 175 |
| – 14 + (– 47) = | – 61 |
| – 123,5 + (– 25, 18) = | – 148,68 |
| 6 + (– 10) = |
(Самопроверка. Открыть во время проверки ответы)
– Почему последний пример вызвал у вас
затруднение?
– Сумму каких чисел нужно найти, а сумму каких
чисел мы знаем, как находить?
III. Сообщение темы урока
– Сегодня на уроке мы узнаем правило сложения чисел с разными знаками. Будем учиться складывать числа с разными знаками. Самостоятельная работа в конце урока покажет ваши успехи.
IV. Изучение нового материала
– Откроем тетради, запишем дату, классная
работа, тему урока «Сложение чисел с разными
знаками».
– Что изображено на доске? (Координатная
прямая)
– Докажите, что это координатная прямая? (Есть
начало отсчёта, направление отсчёта, единичный
отрезок)
– Сейчас мы с вами вместе будем учиться
складывать числа с разными знаками с помощью
координатной прямой.
(Объяснение обучающихся под руководством учителя.)
– Найдём на координатной прямой число 0. К 0 надо
прибавить число 6. Делаем 6 шагов в правую сторону
от начала координат, т.к. число 6 – положительное
(ставим цветной магнитик на получившееся число 6).
К 6 прибавим число (– 10), делаем 10 шагов в левую
сторону от начала координат, т. к. (– 10) число
отрицательное (ставим цветной магнитик на
получившееся число (– 4).)
– Какой получили ответ? (– 4)
– Как получили число 4? (10 – 6)
Сделайте вывод: Из числа с большим модулем вычли
число с меньшим модулем.
– Как в ответе получили знак минус?
Сделайте вывод: Взяли знак у числа с большим
модулем.
– Запишем пример в тетрадь:
6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Аналогично решаем)
Принята запись:
6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7
– Ребята, вы сейчас сами сформулировали правило сложения чисел с разными знаками. Ваши предположения мы назовём гипотезой . Вы выполнили очень важную интеллектуальную работу. Подобно учёным выдвинули гипотезу и открыли новое правило. Сверим вашу гипотезу с правилом (листок с отпечатанным правилом лежит на парте). Прочитаем хором правило сложения чисел с разными знаками
– Правило очень важное! Оно позволяет сложить
числа разных знаков без помощи координатной
прямой.
– Что не понятно?
– Где можно сделать ошибку?
– Для того чтобы правильно и без ошибок
вычислять задания с положительными и
отрицательными числами, надо знать правила.
V. Закрепление изученного материала
– Сможете ли вы найти сумму этих чисел на
координатной прямой?
– С помощью координатной прямой такой пример
решить трудно, поэтому будем использовать при
решении открытое вами правило.
Задание написано на доске:
Учебник – с. 45; № 179 (в, г); № 180 (а, б); № 181 (б, в)
(Сильный ученик работает на закрепление данной
темы с дополнительной карточкой.)
VI. Физпауза (Выполняют стоя)
– Человек обладает положительными и
отрицательными качествами. Распределите эти
качества на координатной прямой.
(Положительные качества – справа от начала
отсчёта, отрицательные – слева от начала
отсчёта.)
– Если качество отрицательное – хлопаем один
раз, положительное – два раза. Будьте
внимательны!
– Доброта
, злость, жадность, взаимовыручка
,
взаимопонимание
, грубость, и, конечно же, сила
воли
и стремление к победе
, которые
вам сейчас потребуются, так как впереди у вас
самостоятельная работа)
VII. Индивидуальная работа с последующей
взаимопроверкой
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
Индивидуальная работа (для сильных обучающихся) с последующей взаимопроверкой
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
| 100 + (– 28) = | 100 + (– 39) = |
| 56 + (– 27) = | 73 + (– 24) = |
| – 4,61 + (– 2,22) = | – 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 68 = | – 43 + 39 = |
VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия
– Я считаю, что вы поработали активно,
старательно, участвовали в открытии новых
знаний, высказывали свое мнение, сейчас я могу
оценить вашу работу.
– Скажите, ребята, что эффективнее: получать
готовую информацию или размышлять самим?
– Что нового мы узнали на уроке? (Научились
складывать числа с разными знаками.)
– Назовите правило сложения чисел с разными
знаками.
– Скажите, наш урок сегодня не зря прошёл?
– Почему? (Получили новые знания.)
– Вернемся к девизу. Значит, Ян Амос Каменский
был прав, когда сказал: «Считай несчастным тот
день или тот час, в который ты не усвоил ничего
нового и ничего не прибавил к своему
образованию».
IX. Домашнее задание
Выучить правило (карточка), с.45, №184.
Индивидуальное задание – как вы понимаете слова
Роджера Бэкона: «Человек, не знающий
математику, не способен ни к каким другим наукам.
Более того, он даже не способен оценить уровень
своего невежества?
«Сложение чисел с разными знаками» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)
Краткое описание:
В этом разделе Вы выучите правила сложения чисел с разными знаками: то есть научитесь складывать отрицательные и положительные числа.
Вы уже умеете их складывать на координатной прямой, но ведь в каждом примере не будете рисовать прямую и по ней считать? Поэтому нужно научиться складывать без нее.
Давайте попробуем с Вами к положительному числу добавить отрицательное, например восемь добавить минус шесть: 8+(-6). Вы уже знаете, что добавление отрицательного числа ведет к уменьшению первоначального на значение отрицательного. Это означает, что восемь необходимо уменьшить на шесть, то есть от восьми отнять шесть: 8-6=2, получается два. В этом примере вроде все понятно, от восьми отнимаем шесть.
А если взять такой пример: к отрицательному числу добавить положительное. Например, минус восемь добавить шесть: -8+6. Суть остается та же: положительное число уменьшаем на значение отрицательного, получаем шесть отнять восемь будет минус два: -8+6=-2.
Как Вы заметили, и в первом и во втором примере с числами выполняется действие вычитание. Почему? Потому что они имеют разные знаки (плюс и минус). Чтобы не делать ошибок при сложении чисел с разными знаками следует выполнять такой алгоритм действий:
1. найдите модули чисел;
2. от большего модуля отнимите меньший модуль;
3. перед полученным результатом поставьте знак числа с большим модулем (обычно ставится только знак минус, а знак плюс не ставится).
Если вы будете складывать числа с разными знаками, следуя этому алгоритму, то шансов ошибиться у Вас будет намного меньше.
На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.
Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.
Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.
Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» - а решение получается со знаком «плюс».
Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться - речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.
Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое - и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.
Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» - произвольного, то есть с любым знаком - отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:
Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками - к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.
В этой статье мы разберемся со сложением чисел с разными знаками . Здесь мы приведем правило сложения положительного и отрицательного числа, и рассмотрим примеры применения этого правила при сложении чисел с разными знаками.
Навигация по странице.
Положительные и отрицательные числа можно трактовать как имущество и долг соответственно, при этом модули чисел показывают величину имущества и долга. Тогда сложение чисел с разными знаками можно рассматривать как сложение имущества и долга. При этом понятно, что если имущество меньше долга, то после взаимозачета останется долг, если имущество больше долга, то после взаимозачета останется имущество, а если имущество равно долгу, то после расчетов не останется ни долга, ни имущества.
Объединим приведенные выше рассуждения в правило сложения чисел с разными знаками . Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо:
Озвученное правило сводит сложение чисел с разными знаками к вычитанию из большего положительного числа меньшего числа. Также понятно, что в результате сложения положительного и отрицательного числа может получиться или положительное число, или отрицательное число, или нуль.
Также заметим, что правило сложения чисел с разными знаками справедливо для целых чисел, для рациональных чисел и для действительных чисел.
Рассмотрим примеры сложения чисел с разными знаками по правилу, разобранному в предыдущем пункте. Начнем с простого примера.
www.cleverstudents.ru
Дроби - это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.
Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.
Задача. Найдите значение выражения:
Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:
Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители - и все.
Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.
Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.
Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!
Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где - плюс.
Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель - и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:
Разберем все это на конкретных примерах:
В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:
Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:
В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей - это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните - обязательно повторите. Примеры:
Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:
Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.
Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.
Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры - и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.
В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:
В этой статье мы разберемся со сложением чисел с разными знаками . Здесь мы приведем правило сложения положительного и отрицательного числа, и рассмотрим примеры применения этого правила при сложении чисел с разными знаками.
Навигация по странице.
Рассмотрим примеры сложения чисел с разными знаками по правилу, разобранному в предыдущем пункте. Начнем с простого примера.
Пример.
Сложите числа −5 и 2 .
Решение.
Нам нужно сложить числа с разными знаками. Выполним все шаги, предписанные правилом сложения положительного и отрицательного числа.
Сначала находим модули слагаемых, они равны 5 и 2 соответственно.
Модуль числа −5 больше, чем модуль числа 2 , поэтому запоминаем знак минус.
Осталось поставить запомненный знак минус перед полученным числом, получаем −3 . На этом сложение чисел с разными знаками завершено.
Ответ:
(−5)+2=−3 .
Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, которые не являются целыми, их следует представить в виде обыкновенных дробей (можно работать и с десятичными дробями , если это удобно). Разберем этот момент при решении следующего примера.
Пример.
Сложите положительное число и отрицательное число −1,25 .
Решение.
Представим числа в виде обыкновенных дробей, для этого выполним переход от смешанного числа к неправильной дроби : , и переведем десятичную дробь в обыкновенную : 
.
Теперь можно воспользоваться правилом сложения чисел с разными знаками.
Модули складываемых чисел равны 17/8 и 5/4 . Для удобства выполнения дальнейших действий, приведем дроби к общему знаменателю , в результате имеем 17/8 и 10/8 .
Сейчас нам нужно выполнить сравнение обыкновенных дробей 17/8 и 10/8 . Так как 17>10 , то . Таким образом, слагаемое со знаком плюс имеет больший модуль, поэтому, запоминаем знак плюс.
Теперь из большего модуля вычитаем меньший, то есть, выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями : 
.
Осталось перед полученным числом поставить запомненный знак плюс, получаем , но - это есть число 7/8 .
