4.4.1. Гипотеза де Бройля
Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.
В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.
Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.
Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.
Формула для импульса фотона
| . | (4.4.3) |
По де Бройлю, движение частицы, например, электрона, подобно волновому процессу с длиной волны λ , определяемой формулой (4.4.3). Эти волны называют волнами де Бройля . Следовательно, частицы (электроны, нейтроны, протоны, ионы, атомы, молекулы) могут проявлять дифракционные свойства.
К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.
Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?
Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не "размазывается" по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.
Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: .
Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:
Отсюда следует физический смысл волновой функции:
Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.
Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неточности в определениях абсциссы и проекции импульса на ось абсцисс равны соответственно Δx и Δр x .
В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δр x→ 0.
В квантовой механике положение принципиально иное: Δx и Δр x , соответствующие одновременному определению x и р x , связаны зависимостью
Формулы (4.4.8), (4.4.9) называют соотношениями неопределенностей .
Поясним их одним модельным экспериментом.
При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.1), это приводит к большему "размазыванию" пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.
Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.
Соотношение неопределенностей можно представить в виде
| , | (4.4.10) |
где ΔE - неопределенность энергии некоторого состояния системы; Δt -промежуток времени, в точение которого оно существует. Соотношение (4.4.10) означает, что чем меньше время существования какого-либо состояния системы, тем более неопределенно его значение энергии. Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину (рис.4.4.2)), зависящую от времени пребывания системы в состоянии, соответствующем этому уровню.
Рис. 4.4.2.Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину.
"Размытость" уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:
,
где m- масса частицы; ; Е и Е n -ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)
Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид
 | (4.4.13) |
Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.
Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.
Прежде всего в уравнение Шредингера (4.4.12) следует подставить потенциальную энергию, которая для двух взаимодействующих точечных зарядов - e (электрон) и Ze (ядро), - находящихся на расстоянии r в вакууме, выражается следующим образом:
Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)
На рис.4.4.3 показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода (Е 1 , Е 2 , Е 3 и т.д.) и график зависимости потенциальной энергии Е n от расстояния r между электроном и ядром. С возрастанием главного квантового числа n увеличивается r (см.4.2.26), а полная (4.4.15) и потенциальная энергии стремятся к нулю. Кинетическая энергия также стремится к нулю. Заштрихованная область (Е>0) соответствует состоянию свободного электрона.
Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода
и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.
Второе квантовое число - орбитальное l , которое при данном n может принимать значения 0, 1, 2, …., n-1. Это число характеризует орбитальный момент импульса L i электрона относительно ядра:
Четвертое квантовое число - спиновое m s . Оно может принимать только два значения (±1/2) и характеризует возможные значения проекции спина электрона:
| .(4.4.18) |
Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква - орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.
Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микробъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречие целого ряда экспериментов с применяемыми в начале XX в. теориями привели к новому этапу развития квантовой теории - созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств.
В квантовой механике состояние микрочастиц описывается с помощью волновой функции , которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах . Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна
dW = │Ψ│ 2 dV . (33.6)
Величина │Ψ│ 2 = dW/dV - имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х , у , z . Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ- функция, а квадрат ее модуля |Ψ| 2 , которым задается интенсивность волн де Бройля.
Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V , равна
W= = │ Ψ│ 2 dV . (33.7)
Так как │ Ψ│ 2 dV определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Ψ нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей
│ Ψ│ 2 dV =1, (33.8)
где данный интеграл (8) вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х , у , z от - ∞ до ∞. Функция Ψ должна быть конечной, однозначной, и непрерывной.
Уравнение Шредингера
Уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого вытекали бы волновые свойства частиц. Оно должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х , у , z , t ), так как величина │ Ψ│ 2 определяет вероятность пребывания частицы в момент времени в объеме.
Основное уравнение сформулированоЭ. Шредингером: уравнения не выводится, а постулируется.
Уравнение Шредингера имеет вид:
- ΔΨ + U (x ,y , z , t )Ψ = iħ , (33.9)
где ħ=h/ (2π ), т -масса частицы, Δ-оператор Лапласа, i - мнимая единица,U (x ,y ,z ,t ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x ,y , z , t ) - искомая волновая функция частицы.
Уравнение (32.9) является общим уравнением Шредингера . Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (33.9) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функцияU (x ,y ,z ,t ) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии.
∆ Ψ + (E -U )Ψ = 0. (33.10)
Уравнение (33.10) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний .
В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. Решение уравнения имеет место не при любых значениях параметра Е , а лишь при определенном наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный и дискретный ряд.
Волновая функция
(или вектор состояния) – комплексная функция, описывающая состояние квантовомеханической
системы. Её знание позволяет получить максимально полные сведения о системе,
принципиально достижимые в микромире. Так с её помощью можно рассчитать
все измеряемые физические характеристики системы, вероятность пребывания
её в определенном месте пространства и эволюцию во времени. Волновая функция
может быть найдена в результате решения волнового уравнения Шредингера.
Волновая функция ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x,t)
точечной бесструктурной частицы является комплексной функцией координат
этой частицы и времени. Простейшим примером такой функции является волновая
функция свободной частицы с импульсом
и полной энергией Е (плоская волна)
.
Волновая функция системы А частиц содержит координаты
всех частиц: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Квадрат модуля волновой функции отдельной частицы | ψ (,t)| 2
= ψ *(,t) ψ (,t)
дает вероятность обнаружить частицу в момент времени t в точке пространства,
описываемой координатами
, а именно,
| ψ (,t)| 2 dv
≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz это
вероятность найти частицу в области пространства объемом dv = dxdydz вокруг
точки x, y, z. Аналогично, вероятность найти в момент времени t систему
А частиц с координатами
1 , 2 ,..., A
в элементе объема многомерного пространства дается величиной | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Волновая функция полностью определяет все физические характеристики
квантовой системы. Так среднее наблюдаемое значение физической величины
F у системы дается выражением
,
где
- оператор этой величины и интегрирование проводится по всей области многомерного
пространства.
В качестве независимых переменных волновой функции вместо координат
частиц x, y, z могут быть выбраны их импульсы p x , p y ,
p z или другие наборы физических величин. Этот выбор зависит от
представления (координатного, импульсного или другого).
Волновая функция ψ (,t)
частицы не учитывает ее внутренних характеристик и степеней свободы, т.
е. описывает ее движение как целого бесструктурного (точечного) объекта
по некой траектории (орбите) в пространстве. Этими внутренними характеристиками
частицы могут быть её спин, спиральность, изоспин (для сильновзаимодействующих
частиц), цвет (для кварков и глюонов) и некоторые другие. Внутренние характеристики
частицы задаются специальной волновой функцией её внутреннего состояния
φ. При этом полная волновая функция частицы Ψ может быть представлена в
виде произведения функции орбитального движения ψ и внутренней функции φ:
поскольку обычно внутренние характеристики частицы и её степени свободы,
описывающие орбитальное движение, не зависят друг от друга.
В качестве примера ограничимся случаем, когда единственной
внутренней характеристикой, учитываемой функцией
,
является спин частицы, причем этот спин равен 1/2. Частица с таким спином
может пребывать в одном из двух состояний − с проекцией спина на ось z,
равной +1/2 (спин вверх), и с проекцией спина на ось z, равной -1/2 (спин
вниз). Эту двойственность описывают спиновой функцией
взятой в виде
двухкомпонентного спинора:
Тогда волновая функция Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ
будет описывать движение частицы со спином 1/2, направленным вверх, по траектории,
определяемой функцией ψ , а волновая функция Ψ -1/2
= χ -1/2 ψ будет описывать движение по той же траектории
этой же частицы, но со спином, направленным вниз.
В заключении отметим, что в квантовой механике возможны такие
состояния, которые нельзя описать с помощью волновой функции. Такие состояния
называют смешанными и их описывают в рамках более сложного подхода, использующего
понятие матрицы плотности. Состояния квантовой системы, описываемые волновой
функцией, называют чистыми.
Как известно, основная задача классической механики заключается в определении положения макрообъекта в любой момент времени. Для этого составляется система уравнений, решение которой позволяет выяснить зависимость радиус-вектора от времени t . В классической механике состояние частицы при ее движении в каждый момент задается двумя величинами: радиус-вектором и импульсом . Таким образом, классическое описание движения частицы правомерно, если оно происходит в области с характерным размером, много большим, чем длина волны де Бройля . В противном случае (например, вблизи ядра атома) следует принимать во внимание волновые свойства микрочастиц. Об ограниченной применимости классического описания микрообъектов, имеющих волновые свойства, и говорят соотношения неопределенностей.
С учетом наличия у микрочастицы волновых свойств ее состояние в квантовой механике задается с помощью некоторой функции координат и времени (x, y, z, t ) , называемой волновой или - функцией . В квантовой физике вводится комплексная функция, описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности).
Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения решения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера .
Теория, описывающая движение малых частиц с учетом их волновых свойств, называется квантовой , или волновой механикой . Многие положения этой теории кажутся странными и непривычными с точки зрения представлений, сложившихся при изучении классической физики. Следует всегда помнить, что критерием правильности теории, какой бы странной она не казалась поначалу, является совпадение ее следствий с опытными данными. Квантовая же механика в своей области (строение и свойства атомов, молекул и отчасти атомных ядер) прекрасно подтверждается опытом.
Волновая функция описывает состояние частицы во всех точках пространства и для любого момента времени. Для понимания физического смысла волновой функции обратимся к опытам по дифракции электронов. (Опыты Томсона и Тартаковского по пропусканию электронов через тонкую металлическую фольгу). Оказывается, что четкие дифракционные картины обнаруживаются даже в том случае, если направлять на мишень одиночные электроны, т.е. когда каждый последующий электрон испускается после того, как предыдущий достигнет экрана. После достаточной продолжительной бомбардировки картина на экране будет в точности соответствовать той, которая получается при одновременном направлении на мишень большого числа электронов.
Из этого можно сделать вывод о том, движение любой микрочастицы по отдельности, в том числе и место ее обнаружения, подчиняется статистическим (вероятностным) закономерностям, и при направлении на мишень одиночного электрона точку на экране, в которой он будет зафиксирован, заранее со 100%-й уверенностью предсказать невозможно.
В дифракционных опытах Томсона на фотопластинке образовывалась система темных концентрических колец. Можно с уверенностью сказать, что вероятность обнаружения (попадания) каждого испущенного электрона в различных местах фотопластинки неодинакова. В области темных концентрических колец эта вероятность больше, чем в остальных местах экрана. Распределение электронов по всему экрану оказывается таким же, каким является распределение интенсивности электромагнитной волны в аналогичном дифракционном опыте: там, где интенсивность рентгеновской волны велика, частиц в опыте Томсона регистрируется много, а там, где интенсивность мала - частицы почти не появляются.
С волновой точки зрения наличие максимума числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волны де Бройля. Это послужило основанием для статистического (вероятностного) истолкования волны де Бройля . Волновая функция как раз и является математическим выражением, которое позволяет описать распространение какой-либо волны в пространстве. В частности, вероятность найти частицу в данной области пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны, связанной с частицей.
Для одномерного движения (например, в направлении оси Ox ) вероятность dP обнаружения частицы в промежутке между точками x и x + dx в момент времени t равна
dP = , (6.1)
где | (x,t )| 2 = (x,t ) *(x,t ) - квадрат модуля волновой функции (значок * обозначает комплексное сопряжение).
В общем случае при движении частицы в трехмерном пространстве вероятность dP обнаружения частицы в точке с координатами (x,y,z) в пределах бесконечно малого объема dV задается аналогичным уравнением: dP = | (x,y,z,t) | 2 dV . Впервые вероятностную интерпретацию волновой функции дал Борн в 1926г.
Вероятность обнаружить частицу во всем бесконечном пространстве равна единице. Отсюда следует условие нормировки волновой функции:
. (6.2)
Величина является плотностью вероятности , или, что то же самое, плотностью распределение координат частиц. В простейшем случае одномерного движения частицы вдоль оси ОX среднее значение ее координаты вычисляется следующим соотношением:
<x(t )>= . (6.3)
Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной), непрерывной (вероятность не может меняться скачком) и гладкой (без изломов) во всем пространстве.
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2 , Ψn , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:
где Cn (n = 1, 2, 3) - произвольные, вообще говоря, комплексные числа.
Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовуютеорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.
Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояниямикрообъектов.
Например, среднее расстояние <r > электрона отядра вычисляется по формуле:
где вычисления проводятся, как и в случае (6.3). Таким образом, точно предсказать в дифракционных опытах, в каком месте экрана будет зафиксирован тот или иной электрон, невозможно, даже заранее зная его волновую функцию. Можно лишь с определенной вероятностью предположить, что электрон будет зафиксирован в определенном месте. В этом отличие поведения квантовых объектов от классических. В классической механике при описании движения макротел мы со 100%-й вероятностью знали заранее, в каком месте пространства будет находиться материальная точка (например, космическая станция) в любой момент времени.
Де Бройль использовал представление о фазовых волнах (волнах вещества или волнах де Бройля) для наглядного толкования правила квантования орбит электрона в атоме по Бору в случае одноэлектронного атома. Он рассмотрел фазовую волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на длине орбиты укладывается целое число этих волн , то волна при обходе вокруг ядра будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В этом случае орбита становится стационарной и не возникает излучения. Де Бройль записал условие стационарности орбиты или правило квантования в виде:
где R - радиус круговой орбиты, п - целое число (главное квантовое число). Полагая здесь и учитывая, что L = RP есть момент импульса электрона, получим:
что совпадает с правилом квантования орбит электрона в атоме водорода по Бору.
В дальнейшем условие (6.5) удалось обобщить и на случай эллиптических орбит, когда длина волны меняется вдоль траектории электрона. Однако, в рассуждениях де Бройля предполагалось, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии - вдоль стационарной орбиты электрона. Этим приближением можно пользоваться в предельном случае, когда длина волны пренебрежимо мала по сравнению с радиусом орбиты электрона.
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ функция, позволяющая найти вероятность того, что квантовая система находится в некотором состоянии s в момент времени t. Обычно пишется: (s) или (s, t). Волновая функция используется в уравнении ШРЕДИНГЕРА … Научно-технический энциклопедический словарь
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ Современная энциклопедия
Волновая функция - ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в квантовой механике основная величина (в общем случае комплексная), описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих эту систему физических величин. Квадрат модуля волновой… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - (вектор состояния) в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих ее физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен вероятности данного… … Большой Энциклопедический словарь
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - в квантовой механике (амплитуда вероятности, вектор состояния), величина, полностью описывающая состояние микрообъекта (эл на, протона, атома, молекулы) и вообще любой квант. системы. Описание состояния микрообъекта с помощью В. ф. имеет… … Физическая энциклопедия
волновая функция - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN wave function … Справочник технического переводчика
волновая функция - (амплитуда вероятности, вектор состояния), в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих её физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен… … Энциклопедический словарь
волновая функция - banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave function vok. Wellenfunktion, f rus. волновая функция, f; волнообразная функция, f pranc. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas
волновая функция - banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. atitikmenys: angl. wave function rus. волновая функция … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - комплексная функция, описывающая состояние квантовомех. системы и позволяющая находить вероятности и ср. значения характеризуемых ею физ. величин. Квадрат модуля В. ф. равен вероятности данного состояния, поэтому В.ф. наз. также амплитудой… … Естествознание. Энциклопедический словарь
