Четырехполюсником называется часть электрической цепи или схемы, содержащая два входных вывода (полюса) для подключения источника энергии и два выходных вывода для подключения нагрузки. К четырехполюсникам можно отнести различные по назначению технические устройства: двухпроводную линию, двухобмоточный трансформатор, фильтры частот, усилители сигналов и др.

Если четырехполюсник не содержит внутри себя источников энергии, то он называется пассивным (обозначается буквой П), если внутри четырехполюсника имеются источники, то он называется активным (обозначается буквой А).

На электрических схемах четырехполюсники условно обозначаются прямоугольником с двумя парами выводов: 1 и 1" - входные выводы, 2 и 2" - выходные выводы (рис. 75.1). Соответственно напряжение и ток на входе индексируются цифрой 1 (U1 , I1 ) , а на выходе - цифрой 2 (U2 , I2 ).

Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением (см. рис. 1,а).

В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление источником с напряжением (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. 1,б можно записать

Решая полученные уравнения (1) и (2) относительно напряжения и тока на первичных зажимах, получим

;

где ; ; ; - коэффициенты четырехполюсника .

Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности , видно, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой соотношением

Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи.

Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника

Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырехполюсник называется симметричным. Как видно из сравнения А- и В- форм в табл. 1, это выполняется при .

Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными.

2.Определение коэффициентов четырехполюсника.

Коэф 4хполюсника зависят от конфигурации и параметров элементов схемы 4полюсника и для данного 4хполюсника яв-ся пост величиной.

Коэф 4хполюсника можно найти расчетным путем, если заданы схема и параметры эл-ов или опытным путем измеряем напряж и токи

Прежде всего, коэф определяются из режимов холостого хода и короткого замыкания

Сущность первого метода состоит в том, что сложная схема четырехполюсника путем последовательных преобразований сворачивается к простейшей Т- или П-образной схеме. Коэффициенты четырехполюсника определяются по соответствующим формулам, полученным ранее для этих схем.

Пусть требуется определить коэффициенты четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 77.1.

Выполняется первое преобразование: треугольник Z 2 , Z 3 , Z 4 преобразуется в эквивалентную звезду Z 6 , Z 7 , Z 8 (рис. 77.2):

Затем выполняются последовательные преобразования Z 1э =Z1+Z6, Z 2э =Z7+Z5, Y0=1/Z8, после чего схема получает стандартный Т-образный вид (рис. 77.3):

Коэффициенты четырехполюсника находятся по формулам для Т-схемы:

Сущность второго метода заключается в том, что коэффициенты четырехполюсника определяются через его входные сопротивления со стороны входных (Z 1X и Z 1K) и выходных (Z 2X и Z 2K) выводов в режимах холостого хода и короткого замыкания на противоположной стороне. Значения этих сопротивлений рассчитываются аналитически методом свертки схемы четырехполюсника в соответствующем режиме (х.х. или к.з.) относительно его выводов.

При питании четырехполюсника со стороны первичных выводов применяются уравнения формы А:

В режиме холостого хода на вторичной стороне I 2X = 0, а в режиме короткого замыкания U 2K = 0. Из уравнений следует:

При питании четырехполюсника со стороны вторичных выводов применяются уравнения формы В:

В режиме холостого хода на первичной стороне I 1X = 0, а в режиме короткого замыкания - U 1K = 0. Из уравнений следует:

Совместное решение полученных уравнений позволяет установить связь между входными сопротивлениями четырехполюсника в режиме холостого хода и короткого замыкания, но не дает возможности определить его коэффициенты:

Для определения коэффициентов четырехполюсника берут любые три из четырех уравнений для входных сопротивлений и дополняют их уравнением связи между коэффициентами AD -BC = 1, после чего решают полученную систему из четырех уравнений. В качестве примера возьмем уравнения для Z 1X , Z 2X и Z 2K , тогда получим:

Из уравнений (1), (2) и (3) делаем подстановку в уравнение (4), получим:

Остальные коэффициенты (B, C, D) получим путем подстановки найден¬ного значения А в уравнения (1), (2) и (3).

Перегруппировав члены, получим «А» форму.

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЧЕТАРЕХПОЛЮСНИКОВ.

Проверим применимость «А» формы четырехполюсника.

Запишем уравнение первого четырехполюсника:

Аналогично для второго четырехполюсника:

Вывод: при параллельном соединении нельзя применить уравнения «А» формы.

Возьмем «у» форму:

Получим уравнение вида:

Часть 4 четырехполюсники

3.1. Основные понятия и определения.

Четырехполюсни­ком называют электрическую схему, имеющую два входных, и два выходных зажима. Трансформатор, линию передачи энергии, мосто­вую схему и т. п. можно рассматривать как четырехполюсники.

Принято изображать четырехполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него концами (полюсами) тп и pq (рис. 3.1, а). Если четырехполюсник содержит источники электрической энергии, то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А отсут­ствует, то это значит, что четырехполюсник пассивный.

Входной ток обозначают , входное напряжение ; ток и напря­жение на выходе и.

Четырехполюсник является передаточным звеном между источни­ком питания и нагрузкой. К входным зажимам тп, как правило, присоединяют источник питания, к выходным зажимами pq-нагрузку.

Предполагается, что нагрузка четырехполюсника и напряжение на входе при работе четырехполюсника в качестве связующего звена

могут изменяться, но схема внутренних соединений четырехполюсника и значения сопротивлений в ней остаются неизменными.

3.2. Шесть форм записи уравнений четырехполюсника.

Четы­рехполюсник.характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и. Любые две величины из четырех можно определить

через остальные. Так как число сочетаний из 4 по 2 равно 6, то

возможны следующие 6 форм записи уравнений пассивного четырех­полюсника:

A-форма:

; (3.1)

(3.2)

Y-форма:

; (3.3)

; (3.4)

Z-форма:

; (3.5)

; (3.6)

H-форма:

; (3.7)

; (3.8)

G-форма:

; (3.9)

(3.10)

B-форма:

; (3.11)

. (3.12)

Обратим внимание на попарную инверсию Y - и Z-форм, А- и В-форм, Н- и G-форм.

Исторически сложилось так, что для A-формы (ее будем считать основной) положительные направления для токов и напряжений соот­ветствуют рис. 3.1, а; для Y-, Z-, H-, G-форм-рис. 3.1, б, В-форме-. рис. 3.1, в.

Обратим внимание на то, что, ток на рис. 3.1, б направлен про­тивоположно направлению тока на рис. 3.1, а.

На рис. 3.1, в токи и изменили направление по сравнению с токами ина рис.- 3.1, а.

Рассмотрение уравнений начнем с А-формы.

3.3. Вывод уравнений в А-форме .

Комплексные коэффициенты A, B, C, D в уравнениях (3.1) и (3.2) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и частоты. Для каждого четырехполюсника их можно определить расчетным или опытным путем. Для четырехпо-люсников, удовлетворяющих условию взаимности, коэффициенты связаны соотношением

AD-BC=l. (3.13)

Выведем уравнения (3.1) и.(3.2). С этой целью к зажимам тп подключим источник э. д. с.

, а к зажимам pq-на­грузку Z, (рис. 3.2, а).

Напряжение на нагрузке

. Согласно теореме ком­пенсации (см. § 1.17), заменим нагрузку Z2 источником э. д. с. с э. д. с.

и направленной встречно току(рис. 3.2, б). Запишем вы­ражения для токовивыразив их через э. д. с.

и вход­ные и взаимные проводимости ветвей y11, y12, y21, y22:

(a)

(б)

Если токи и рассматривать как контурные токи, то э. д. с. контуров, совпадающие с направлением контурных токов, войдут в уравнения, подобные уравнению (1.7), со знаком плюс, а э. д. с., не совпадающие с направлением соответствующих контурных токов,-" со знаком минус.

Э. д. с. направлена согласно с , поэтому она вошла в урав­нения (а) и (б) со знаком плюс; э. д. с.направлена встречно, поэтому она вошла в эти уравнения со знаком минус.

Для линейных четырехполюсников, не содержащих нелинейных элементов (для взаимных четырехполюсников), согласно принципу взаимности (см. § 1.16), y12=y21. Из (б) найдем

(в)

Подставив (в) в (а), получим

(г)

Обозначим:

A=y22/y21 , B=1/y21 ,C=(y11y22-y12y21)/y21 , D=y11/y21 . (д)

В уравнениях (в) и (г) заменим на и на и восполь­зовавшись обозначениями (д), получим уравнения в A-форме:

.

Проверим выполнение соотношения (3.13) для взаимного четырех­полюсника:

AD-BC=

Для невзаимного четырехполюсника

и АВ-ВС=

Далее обсудим соотношения, котор.ые имеют место между и и и , если источник э. д. с. присоединен к зажимам (рис. 3.3).

Как и в предыдущем выводе, заменим нагрузку Z2 на источник э. д. с. с э. д. с., направленной встречно току , и запишем вы­ражения для токови:

(е)

(ж)

Из (е) найдем

(з)

Подставим (з) в (ж):

Заменив , на и , на и воспользовавшись обозначениями (д),

перепишем две последние строчки сле­дующим образом:

(3.14)

(3.14`)

Таким образом, уравнения (3.1) и (3.2) характеризуют работу четырехполюсника при питании со стороны зажимов mn

и присоединении нагрузки к зажимам pq, а уравнения (3.14) и (3.14")-при его питании со стороны зажимов pq и присоединении нагрузки к зажимам тп.

Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене местами источника питания и нагрузки токи в источнике питания и нагрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике A = D ,

Уравнения (4.1) и (4.2) иногда записывают так:

(3.1`)

(3.2`)

где A11=A; A12=B; A21=C; A22=D.

ЛЕКЦИЯ 27 ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ

ВОЗДЕЙСТВИЯХ

План лекции

2. Определение коэффициентов уравнений связи четырехполюсника

1. Четырехполюсникииихосновныеуравнения

Исследование режима работы сложной электрической цепи часто сводится к установлению связей между токами, напряжениями и мощностями различных ее участков. Режим работы остальной цепи при этом значения не имеет.

Рассматриваемую часть цепи можно определить обобщенными параметрами на соответствующих зажимах.

Часть цепи, которую характеризуют обобщенными параметрами, необходимыми и достаточными для составления уравнений связи между токами и потенциалами на ее зажимах, называют многополюсником. Число полюсов многополюсника равно числу зажимов на границе данной части цепи.

Четырехполюсники могут быть пассивными и активными. Рассмотрим пассивный четырехполюсник, представленный на рис. 27.1 .

Разработаны шесть форм уравнений связи четырехполюсников. Уравнения в Z -форме связывают входное и выходное напряжения с

входным и выходным токами:

1. Четырехполюсники и их основные уравнения

Коэффициентами в этих уравнениях являются сопротивления Z . Их можно определить из режимов холостого хода. В режиме холостого хода за-

Более компактной является запись уравнений связи в матричной фор-

Коэффициентами в этих уравнениях являются проводимости Y . Их можно определить из режимов короткого замыкания. В режиме короткого замыкания зажимов 2− 2′ напряжениеU 2 = 0 . Из уравнений связи получаем:

можно найти остальные проводимости:

ЛЕКЦИЯ 27. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

1. Четырехполюсники и их основные уравнения

Если отношение напряжения на входе к току на выходе не зависит от того, какие зажимы являются входными, а какие – выходными, четырехполюсник является обратимым. У него Y 12 = Y 21 .

При каскадном соединении четырехполюсников (длинные линии) целесообразно записать уравнения в такой форме, чтобы U 1 иI 1 были выражены черезU 2 иI 2 . Их называют уравнениями в А- форме и получают из уравнений вY -форме:

Для цепей, где выполняется принцип взаимности, Y 12 = Y 21 . Тогда

A D − B C = 1.

Комплексные коэффициенты A ,B ,C ,D зависят от конфигурации схе-

мы, параметров элементов и от частоты.

Запись уравнений связи в матричной форме имеет вид

ЛЕКЦИЯ 27. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

1. Четырехполюсники и их основные уравнения

Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене местами источника питания и приемника токи источника питания и приемника не изменятся. При взаимной замене первичных и вторичных зажимов уравнения связи должны оставаться неизменными, т. е. A = D .

Все четырехполюсники, не удовлетворяющие этому условию, называют несимметричными.

В цепях с полупроводниковыми приборами для описания биполярных транзисторов используют H иG – формы записи уравнений связи. КоэффициентыH иG называют гибридными.

Уравнения связи в Н -форме записывают следующим образом:

U 2 = 0 . Из уравнений связи получим:

Н 11 = U 1 k – сопротивление;

I1 k

Н 21 = I 2 k – передаточная функция по току.

I1 k

В режиме холостого хода первичных зажимов ток I 1 = 0 . Тогда из уравнений связи получим:

Запись в матричной форме:

Уравнения связи в G- форме имеют вид

ЛЕКЦИЯ 27. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

1. Четырехполюсники и их основные уравнения

2. Определениекоэффициентовуравнений связичетырехполюсника

Комплексные коэффициенты пассивного четырехполюсника определяют опытным или расчетным путем. В последнем случае должна быть известна схема соединения пассивного четырехполюсника и ее параметры.

Для опытного определения проводят опыты холостого хода и короткого замыкания. При этом нужно измерять не только модули комплексных величин, но и их аргументы.

Рассмотрим нахождение коэффициентов в А -форме уравнений связи. В режиме холостого хода вторичных зажимов токI 2 = 0.

Уравнения связи принимают вид

U 2 = 0 .

Уравнения связи получаются упрощенными:

В режиме холостого хода первичных зажимов ток I 1 = 0 . Уравнения связи запишем следующим образом:

Четвертым можно взять уравнение AD − BC = 1.

Совместное решение четырех уравнений с четырьмя неизвестными дает формулы коэффициентов четырехполюсника в А- форме:

Вопросыдлясамопроверки

1. Что называют многополюсником?

2. Какие формы уравнений связи вы знаете?

3. В каких цепях используют уравнения связи в А- форме?

4. В каких цепях используют уравнения связи Н и G- формах?

5. Какой четырехполюсник называют симметричным?

6. Какие опыты проводят для определения коэффициентов уравнений связи четырехполюсника?