Электрическое поле точечного заряда. Электрический заряд. Электрическое поле. Поле точечного заряда

Пусть в точке О находиться точечный заряд q. Вокруг него существует электрическое поле. Для исследования этого поля поместим пробгый заряд qпр на расстоянии r от него. Сила кулона, действующая на заряд qпр равна F=k*(|q|* |qпр|)/er2. Напряженность электрического поля Е равна E=F/ qпр, откуда E=k*(|q|/er2)=(1/4pe0)* (|q|/er2). Напряженность поля точечного заряда прямо пропорциональна величине заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояний от точечного заряда до исследуемой точки. Если поле создается несколькими зарядами, то напряженность электрического поля в данной точке определяется векторной суммой напряженности полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности. Причем поле каждого источника считается так, как будто других источников поля нет (принцип суперпозиции полей): Е=Е1+Е2+Е3+ Поле, создаваемое непрерывно разделенным зарядом, сложно определить, используя только принцип суперпозиции. Если поля симметричны, то напряженность поля определяется с помощью теоремы Остроградского – Гаусса . Формулы для определения напряженности электрических полей в следующих случаях: 1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости : E=s2/e0e, где s - поверхностная плотность заряда, равная s=D q/D S, а D q –заряд площадки D S. 2. Поле проводящей сферы радиуса r0. Заряд q равномерно распределен по поверхности сферы. Внутри сферы при r< r0 E=0. Вне сферы при r> r0 E=|q|/4pe0er2. Проводники и диэлектрики в электрическом поле . В проводниках есть свободные электрические заряды, которые перемещаются в сколь угодно слабом электрическом поле. Следовательно, при рассмотрении задач электростатики напряженность электрического поля внутри проводника должна всегда быть равна нулю. При помещении проводника в электрическое поле начинается перемещение свободных электронов. На одной стороне проводника оказываются положительные заряды, на другой – отрицательные. В диэлектриках нет свободных зарядов. Полярные диэлектрики состоят из диполей, которые в отсутствие электрического поля расположены хаотично, и суммарное электрическое поле в диэлектриках равно нулю. Диполь представляет собой совокупность равных по модулю и разноименных зарядов, находящихся на малом расстоянии друг от друга. При наложении внешнего электрического поля диполи ориентируются таким образом, что поле, создаваемое поляризованным зарядом, направлено в сторону, противоположную внешнему электрическому полю. Напряженность электрического поля в диэлектрике равна разности напряжений внешнего поля Е0 и поля создаваемого поляризованным зарядом Eп: Е=Ео – Еп. В неполярных диэлектриках в отсутствие внешнего поля молекулы не являются диполями, так как центры положительных и отрицательных зарядов совпадают. При наложении внешнего электрического поля молекулы растягиваются и становятся диполями, при этом поле поляризованного заряда направлено против внешнего поля. Независимо от природы диэлектрика напряженность внешнего поля в нем всегда ослаблена в e раз: e = Ео/Е. Относительная диэлектрическая проницаемость e показывает, во сколько раз напряженность электрического поля в диэлектрики меньше, чем в вакууме.

Потенциал. Разность потенциалов. Кроме напряженности, важной характеристикой электрического поля является потенциал j. Потенциал j - это энергетическая характеристика электрического поля, тогда как напряженность E – это его силовая характеристика, потому что потенциал равен потенциальной энергии, которой обладает единичный заряд в данной точке поля, а напряженность равна силе, с которой поле действует на этот единичный заряд.

j=Wпот/q, Здесь Wпот – потенциальная энергия заряда q в данной точке поля. Потенциал поля, созданного точечным зарядом - источником q или заряженным шаром с зарядом q, определяется формулой j=q/4pe0er. Здесь r –расстояние от точки поля с потенциалом j до точечного заряда или до центра шара. Если r=R, где R – радиус шара, то по этой формуле можно определить потенциал шара на его поверхности. Работа перемещения заряда А в электрическом поле определяется выражением A=q(j1-j2) или А=qU. Здесь j1-j2 разность потенциалов (или падение потенциала D j, или напряжение U) между точками с потенциалами, j1 и j2. Очевидно, что если заряд перемещают между точками с одинаковыми потенциалом, то работа перемещения заряда равна нулю. Точно так же как равна нулю и работа перемещения заряда по замкнутой траектории, т.е. когда он возвращается в исходную точку с прежним потенциалом. Действительно в этом случае А=q(j1-j2)=0. в однородном электростатическом поле работа перемещения заряда q может быть определена по формуле A=Eqd, (d=Scosa), где E – напряженность этого поля, а d – проекция перемещения заряда q на силовую линию этого поля, угол между направлением перемещения S и вектором Е. Если заряд перемещается по силовой линии, то d – модуль перемещения. Если заряд перемещается перпендикулярно силовым линиям, тоa =900, соsa =0и А=0. В каждой точке однородного электрического поля напряженность одинакова по величине и направлению, а потенциал нет, так как он понижается при переходе от точек, которые ближе к положительным зарядам – источникам, к точкам, которые ближе к отрицательным зарядам источникам. В этом случае связь между разностью потенциалов j1-j2 или U и напряженностью Е выражает простое соответствие E=(j1-j2)/d или E=U/d. Следует отметить, что в электрическом поле можно отыскать точки, потенциалы которых одинаковы. Эти точки располагаются на поверхностях, перпендикулярных линиям вектора E. Такие поверхности называются эквипотенциальными. Работа перемещения заряда q вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю, так как A = q(j1-j2)=0. Поверхность проводника с неподвижными зарядами тоже является эквипотенциальной, поэтому при перемещении заряда по такому проводнику работы не совершается. Формулу E=(j1-j2)/d можно применять к полю бесконечной заряженной плоскости и к полю плоского конденсатора, обкладки которого заряжены разноименно (при этом если j1-j2 – разность потенциалов между обкладками, то d – расстояние между ними).

Конденсаторы . Если изолированному проводнику сообщить заряд Dq, то его потенциал увеличиться на Dj, причем отношение Dq/Dj остается постоянным: Dq/Dj=С, где С – электрическая емкость проводника , т.е. величина, численно равная заряду, который надо сообщить проводнику, чтобы повысить его потенциал на единицу (на 1В). Электрическая емкость проводников зависит от их размеров, формы, диэлектрических свойств среды в которую они помещены, и расположения окружающих тел, но не зависит от материала проводника. В СИ за единицу электрической емкости 1 фарад (Ф): [C]=1A=1кл/1В=1А2*с4/кг*м2. Емкость равная 1Ф, очень велика, поэтому на практике чаще пользуются единицами микрофарад (1мкФ=10-6Ф) или пикофарад (1мкФ=10-12Ф). Конденсатор представляет собой систему двух проводников (обкладок) не соединенных друг с другом. Часто между обкладками помещают диэлектрик. При сообщении этим проводникам одинаковым по величине и разноименных зарядов, поле, создаваемое этими проводниками, практически полностью локализовано в пространстве между ними. Конденсаторы являются накопителями электрических зарядов. Отношение заряда на обкладке конденсатора к разности потенциалов между ними – постоянная величина: q/(j1-j2)=C. Плоский конденсатор состоит из двух пластин площадью S, расположенных на небольшом расстоянии d друг от друга, заряды на пластинах +q и –q. В общем случае, если пространство между пластинами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e, то напряженность электростатического поля между пластинами равна сумме напряженности полей создаваемых каждой из пластин.

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле . Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не производит заметного перераспределения исследуемых зарядов.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика напряженность электрического поля .

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора в каждой точке пространства совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим . Во многих случаях для краткости это поле обозначают общим термином – электрическое поле

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Это поле называется кулоновским . В кулоновском поле направление вектора зависит от знака заряда Q : если Q > 0, то вектор направлен по радиусу от заряда, если Q < 0, то вектор направлен к заряду.

Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии . Эти линии проводят так, чтобы направление вектора в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии (рис. 1.2.1). При изображении электрического поля с помощью силовых линий, их густота должна быть пропорциональна модулю вектора напряженности поля.

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рис. 1.2.2. Так как электростатическое поле, создаваемое любой системой зарядов, может быть представлено в виде суперпозиции кулоновских полей точечных зарядов, изображенные на рис. 1.2.2 поля можно рассматривать как элементарные структурные единицы («кирпичики») любого электростатического поля.

Кулоновское поле точечного заряда Q удобно записать в векторной форме. Для этого нужно провести радиус-вектор от заряда Q к точке наблюдения. Тогда при Q > 0 вектор параллелен а при Q < 0 вектор антипараллелен Следовательно, можно записать:

Важной характеристикой электрического диполя является так называемый дипольный момент

где – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, модуль Диполь может служить электрической моделью многих молекул.

Электрическим дипольным моментом обладает, например, нейтральная молекула воды (H 2 O), так как центры двух атомов водорода располагаются не на одной прямой с центром атома кислорода, а под углом 105° (рис. 1.2.4). Дипольный момент молекулы воды p = 6,2·10 –30 Кл · м.

3.Электростатическая теорема Гаусса. Доказательство теоремы Гаусса для частного случая (точечный заряд расположен внутри сферы радиуса R). Обобщение теоремы Гаусса на N точечных зарядов. Обобщение теоремы Гаусса на случай непрерывно распределенного заряда. Теорема Гаусса в дифференциальной форме.

Найдем поток вектора Е сквозь сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q.

В этом случае т.к. направления Е и n во всех точках сферической поверхности совпадают.

С учетом напряженности поля точечного заряда и того, что площадь поверхности сферы получим

Алгебраическая величина, зависящая от знака заряда. Например, при q <0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n . Поэтому в таком случае поток отрицателен <0 .

Пусть замкнутая поверхность вокруг заряда q имеет произвольную форму. Очевидно, что поверхность пересекается тем же числом линий Е, что и поверхность S. Следовательно, поток вектора Е сквозь произвольную поверхность также определяется полученной формулой .

Если заряд будет находиться вне замкнутой поверхности, то, очевидно, сколько линий войдет в замкнутую область, столько же из нее и выйдет. В результате поток вектора Е будет равен нулю.

Если электрическое поле создается системой точечных зарядов то согласно принципу суперпозиции,

Доказательство частного случая:

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε 0 .

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR 2 . Следовательно,

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R 0 (рис. 1.3.3).

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS 0 , а на поверхности S – площадку ΔS . Элементарные потоки ΔΦ 0 и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q , то поток Φ = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхностьS будет складываться из потоков Φ i электрических полей отдельных зарядов. Если заряд q i оказался внутри поверхности S , то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Запустите программу «Открытая физика». Выберите «Электричество и магнетизм» и «Взаимодействие электрических зарядов».

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальное определение величины электрической постоянной.

Экспериментальная проверка теоремы ОстроградскогоГаусса.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Электрический заряд q (Кл) –физическая величина,

характеризующая свойства тел вступать в электромагнитные взаимодействия. Величина любого заряда кратна элементарному заряду

q = N· q0 ,

где N – целое число (= 1, 2, 3, 4 и т.д.).

Модуль элементарного заряда q 0 = 1,6 ۰ 10 -19 Кл .

Точечным зарядом называется заряд, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел.

Закон Кулона определяет силу взаимодействияF K двух

точечных зарядов q 1 , q 2 , находящихся на расстоянииr друг от друга:

Сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

				q1 q2 r

где r – расстояние между зарядами,

r r - единичный вектор вдоль линии, соединяющей заряды,

0 = 8.85 ۰ 10 -12 Кл 2 - электрическая постоянная,

Нм2

Диэлектрическая проницаемостьсреды: показывает во сколько раз сила взаимодействия зарядов в вакууме больше, чем в среде. Для вакуума (воздуха) = 1.

Особенности сил взаимодействия точечных зарядов:

1) силы взаимодействия могут быть как силами притяжения, так

и силами отталкивания (противоположно заряженные заряды притягиваются, одноименно заряженные – отталкиваются);

2) силы взаимодействия – центральные силы . Это значит, что они направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие заряды;

3) силы взаимодействия – консервативные силы;

4) сила взаимодействия F зарядов в среде в раз меньше силы взаимодействияF 0 зарядов в вакууме

F F 0 .

Электромагнитное поле –это вид материи, переносящий действие одной заряженной частицы на другую.

Электростатическое поле – поле, которое создают

неподвижные точечные заряды.

Напряженность электрического поля E, В/мили Н/Кл-

векторная величина, численно равная силе, действующей со стороны поля на помещенный в данную точку единичный пробный заряд

		q пр

направление вектора напряженности совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Поскольку напряженность электрического поля численно РАВНА СИЛЕ, с которой поле действует на единичный положительный заряд, то напряженность является силовой

Рисунок 1

Принцип суперпозиции : Если электрическое поле создается системой зарядовq 1, q 2, … q n , тонапряженность результирующего поля равна ВЕКТОРНОЙ сумме напряженностей полей, которые создает каждый заряд в отдельности (рис.1):

E E1 E2 ... En Ei (4)

Напряженность

электрического поля точечного заряда .

				1 q r
		Т . З.		4 0 r 2
	q пр

Силовые линии электрического поля -линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором напряженности поля в той же

точке. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных.

Работа при перемещении заряда в электростатическом поле

Работа силы при перемещении тела из точки 1 в точку 2 по определению механической работы равна:

A12 (Fdl) .

В электростатическом поле на заряд действует кулоновская сила F qE , поэтому работа по перемещению зарядаq 0 из точки 1 в точку

A12 q0 (Edl)

Кулоновская сила, действующая на заряд в электростатическом поле, является консервативной силой. Поэтому работа сил электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями заряда.

Пусть электростатическое поле создается точечным зарядом +Q (рис.2). Напряженность поля точечного заряда

равна E
	4 0 r 2

Тогда, вычисляя по формуле (6), работа сил электростатического поля по перемещению заряда q 0 из точки 1 в точку 2 будет

	Рисунок 2

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по замкнутому пути равна нулю

Циркуляция вектора напряженности – это интеграл от вектора по замкнутому контуру L

(Edl)

Циркуляция вектора напряженности ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю

(Edl ) 0.

Силовое поле, циркуляция которого равна нулю, называется

потенциальным полем.Потенциальная энергия заряда

Электростатические силы - это консервативные силы. Работа

Если заряд q 0 находится в поле точечного заряда+Q на расстоянииr от него, то он будет обладать потенциальной энергией

(см. (7) и (9))

Потенциал ,В (вольт) - скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии, которой обладает пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда

W p . (11)

Потенциал численно равен потенциальной ЭНЕРГИИ, которой обладает единичный положительный заряд в данной точке поля.

Поэтому потенциал - это энергетическая характеристика поля.

Потенциал поля, созданного точечным зарядом Q:

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал,

называется эквипотенциальной поверхностью.

Принцип суперпозиции потенциалов : Если электрическое

поле создается системой зарядов q 1, q 2, … q n , топотенциал
результирующего поля равен алгебраической сумме						потенциалов
полей, которые создает каждый заряд в отдельности.
				Поток вектора напряженно-
				сти электрического поля ФЕ ,			В۰ м
				Элементарным потоком вектора
				напряженности	электрического поля
				через элементарную площадку d S
				называется произведение модуля вектора
				напряженности

элементарной поверхности и на косинус угла между нормалью к поверхности n и направлением вектораE (рисунок 3)

электрического поля E через произвольную поверхность S равен алгебраической сумме элементарных потоков и пропорционален числу силовых линий, пронизывающих данную поверхность:

Ф Е = S (EdS) S En dSS Ecos() dS

Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную:

	S (EdS)
		o i 1

Полный поток электростатического поля через любую замкнутую поверхность определяется только суммарным зарядом внутри этой поверхности и не зависит от того, как расположены заряды.

	ЗАДАНИЕ ДЛЯ ДОПУСКА :
	Дана система из трех точечных зарядов q 1 , q 2
	и q 3 . Зарядыq 2 иq 3 – положительные, зарядq 1 –
	отрицательный. Расстояния между зарядами r 12 ,r 13
	и r 23 , соответственно (рисунок 4).
	Нарисуйте	результирующую
	действующую на каждый заряд.
	Рассчитайте	величину	результирующей
	силы, считая, что r 12	R 13 =r 23 .			Рисунок 4
	Пусть заряды	помещены		замкнутой

поверхности в виде куба. Рассчитайте поток поля данной системы зарядов через эту поверхность. Как будет зависеть поток от расположения зарядов внутри поверхности? Что произойдет с потоком, если изменить форму поверхности с кубической на сферическую?

МЕТОДИКА и ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

Запустите программу. Выберите «Электричество и магнетизм» и «Взаимодействие электрических зарядов».

Рассмотрите внимательно рисунок. Найдите регуляторы с движками, задающие значения зарядов. Попробуйте изменить расстояние между зарядами, зацепив маркером мыши заряд и удерживая левую кнопку мыши.

Протестируйте модель.

Для этого установите значения зарядов q 1 , q 2 иq 3 согласно номеру Вашего варианта из таблицы 6 дополнительного задания (в конце работы). Расстояния между зарядами установите произвольно. Рассчитайте по закону Кулона значения сил, действующих со стороны первого заряда на

второй F 12 и третийF 13 , а также со стороны второго

заряда на третий F 23 . Все результаты расчета занесите в таблицу 1. Сравните

полученные Вами величины сил с измеренными значениями (на экране компьютера).

ТАБЛИЦА 1. Тестирование модели.

					Результаты	Результаты
						измерения
q1 , Кл		r12 , м		F12 , Н
q2 , Кл		r13 , м		F13 , Н
q3 , Кл		r23 , м		F23 , Н

Не закрывая окна «Взаимодействие электрических зарядов», откройте рядом окно «Электрическое поле точечного заряда». В нижнем правом прямоугольнике «Конфигурация» щёлкните мышью на кнопке «Один заряд». Щёлкните мышью на кнопках «Силовые линии» и «Эквипотенциали». Меняя величину и знак заряда, проследите за изменением числа и направления

силовых линий.

Зарисуйте силовые линии и эквипотенциальные поверхности для случаев положительного и отрицательного заряда в Ваш отчет.

Щёлкните мышью на кнопке «Два заряда». Меняя величины и знаки зарядов, проследите за изменением конфигурации силового поля. Посмотрите, как меняется

поле при изменении расстояния между зарядами. Запишите наблюдения.

Зарисуйте силовые линии для случая двух одноименных зарядов и для случая двух противоположных зарядов.

Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.

Приступайте к измерениям.

ЗАДАНИЕ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ .

ТАБЛИЦА 2. Установочные значения величины заряда q 1 (два значения).

	q1 , нКл			q1 , нКл
варианта			варианта

ТАБЛИЦА 3. Результаты измерений (9 столбцов )

q1 =___ нКл;	2) q1 =___нКл;		q2 =___нКл;		q3 =___нКл.
1/r2 , м-2
F1 , Н(для
значения q 1 )
F2 , Н(для
значения q 1 )
E1 , В/м
E2 , В/м

Активизируйте окно «Взаимодействие электрических зарядов». Рассмотрим взаимодействие двух зарядов q 1 иq 2. Зарядq 3 исключим из взаимодействия, для чего следует установить его значение равным нулю и поместить его в левый нижний угол окна опыта.

Заряд q 1 (он создает исследуемое поле) поместите в левый верхний угол окна опыта. Установите первое значение зарядаq 1 , соответствующее номеру Вашего варианта из таблицы 2.

Заряд q 2 поместите рядом сq 1 на расстоянииr = 20 см от него (r 12 в окне опыта) и установите равным 10 -8 Кл . Это -пробный заряд, с помощью которого будем исследовать поле зарядаq 1 . Запишите в соответствующую ячейку таблицы 3 величину силыF 1 взаимодействия зарядов (F 12 в окне опыта).

Увеличивайте расстояние между зарядами каждый раз на 10 см и записывайте значение силыF 1 в таблицу.

Установите второе значение заряда q 1 , соответствующее номеру Вашего варианта из таблицы 2. Продолжите заполнение таблицы 3 – значения силыF 2 для второго значенияq 1 .

Рассчитайте величину напряженности электростатического поля E 1 иE 2 для соответствующих значений зарядаq 1 и расстоянийr по формуле 5.

Постройте на одном листе графики зависимостей напряженности поля точечного заряда E 1 иE 2 от квадрата обратного расстояния1/r 2 между ними.

Из каждого графика по его наклону определите значение электрической постоянной 0 , используя формулу

q 1 (r 1 2 )

0 4 (E )

Сравните полученные значения с теоретическим значением электрической постоянной.. Сделайте вывод.

ЗАДАНИЕ 2. ИЗУЧЕНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГАУССА.

Поток напряженности электростатического поля через любую поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Электростатическое поле в вакууме изотропное, т.е. одинаково по всем направлениям. Тогда количество силовых линий, пересекающих произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды, будет пропорционально количеству силовых линий, пересекающих замкнутый контур, ограничивающий площадь сечения, в которой находятся электрические заряды этой замкнутой поверхности. При таком допущении реальное трёхмерное электростатическое поле можно привести в количественное соответствие с плоской компьютерной моделью, которая показана в окне опыта.

Активизируйте окно работы «Электрическое поле точечного заряда».

Рассчитайте поток Ф Е вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится

электрический заряд q =+1 мкКл , т.е. для реального трёхмерного кулоновского поля. По теореме Остроградского-Гаусса имеем:

			1 10 6	1,13 105 (В м ).
			8,85 10 12

В окне опыта включите «Силовые линии» и установите конфигурацию «Один заряд». Установите значение q 1 = +1мкКл . Подсчитайте число силовых линийN , пересекающих рамку окна. Рассчитайте значение потока реального трёхмерного поля, которое соответствует одной силовой линии в плоской компьютерной модели

1,13 105

(В м ) =______ .

ТАБЛИЦА 4. Установочные значения зарядов.

варианта

ОДИН ЗАРЯД

q1 , мкКл

ДВА ЗАРЯДА

q1 , мкКл

q2 , мкКл

d1 , м

d2 , м

d3 , м

Установите первое значение q 1 , соответствующее номеру Вашего варианта из таблицы 4 для случая ОДИН ЗАРЯД.

Подсчитайте число силовых линий выходящих N + и входящихN_ через границы прямоугольной рамки окна опыта. При этом внимательно смотрите за направлением стрелок на силовых линиях поля. Запишите эти данные в таблицу 5 и рассчитайте полный поток через контур по формуле

Ф Е= Ф 1(N +N -)

ТАБЛИЦА 5. РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕ НИЙ. ОДИН ЗАРЯД

q1 , мкКл
N +N -
ФЕ =Ф1 (N+ - N- ),
ДВА ЗАРЯДА
q1 , мкКл
q2 , мкКл
q = q1 + q2 ,
N +N -
ФЕ =Ф1 (N+ N- ) ,

Установите второе значение q 1 Вашего варианта. для случая ОДИН ЗАРЯД.

Подсчитайте число выходящих и входящих силовых линий согласно пункта 5, рассчитайте полный поток и запишите результаты в таблицу.

Установите конфигурацию «Два заряда». Установите первые значения зарядов q 1 иq 2 , соответствующие Вашему варианту для случая ДВА ЗАРЯДА. Установите расстояние между зарядамиd 1 из таблицы 4.

Подсчитайте число выходящих и входящих силовых линий согласно пункта 5, рассчитайте полный поток и заполните столбец 1 таблицы 5.

Установите другую комбинацию зарядов q 1 иq 2 Вашего варианта для случая ДВА ЗАРЯДА. Расстояние между зарядами не меняйте! Повторите пункт 5. Заполните столбец 2 таблицы 5. Аналогично заполните столбцы 3 и 4 таблицы 5 для других комбинаций зарядовq 1 иq 2 .

Установите расстояние d 2 между зарядами. Установителюбую комбинацию зарядовq 1 иq 2 , соответствующих Вашему варианту для случая ДВА ЗАРЯДА.

Посчитайте поток по пункту 5. Занесите результат в столбец 5. Аналогично заполните столбец 6 таблицы 5 для другой комбинации зарядов.

Установите расстояние между зарядами d 3 . Посчитайте поток для любых двух комбинации зарядов (как в п. 11 и 12). Занесите результаты в столбцы 7 и 8.

Постройте по данным таблицы 5 график зависимости потока вектора напряжённости Ф Е от величины зарядаq , заключенного внутри замкнутой поверхности.

Определите по наклону графика значение электрической постоянной 0 , используя формулу

0 (q )

(Ф Е )

Сделайте вывод: а) как зависит поток вектора напряженности от величины заряда внутри замкнутой поверхности; б) как зависит поток вектора напряженности от распределения заряда внутри замкнутой поверхности.

Письменно ответьте на следующие вопросы:

1. Дайте определение электрическому заряду. Перечислите основные свойства заряда.

2. Запишите закон Кулона. Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов, если расстояние уменьшить вдвое, а величину каждого заряда увеличить в четыре раза?

3. Какое поле называется электростатическим? Что является его источником?

4. Дайте определение напряженности поля точечного заряда.

5. Сформулируйте принцип суперпозиции для электрических полей. В каких случаях необходимо применять принцип суперпозиции?

6. Какое поле называется потенциальным? Запишите условие потенциальности поля.

7. Что такое силовые линии напряженности поля и как они направлены?

8. Запишите выражения для определения потока вектора

электростатического поля в вакууме. Между какими величинами дает связь теорема Гаусса?

10. Дайте определение потенциала электрического поля. Чему равен потенциал поля точечного заряда?

11. Как выражается работа по перемещению заряда в электрическом поле: а) через напряженность поля; б) через разность потенциалов.

12. Какие поверхности называются эквипотенциальными? Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности?

13. Каково взаимное расположение эквипотенциальных поверхностей и силовых линий электрического поля? Почему?

14. Запишите закон Кулона. Нарисуйте зависимость F(q) и F(r).Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов, если расстояние уменьшить вдвое, а величину каждого заряда увеличить в четыре раза?

15. Запишите закон Кулона в полевой форме.

16. Запишите выражения для определения потока вектора напряженности электростатического поля:

17. а)через элементарную площадку dS ; б) через площадкуS ; в)

через замкнутую поверхность S .

18. Запишите теорему Гаусса для вектора E электростатического поля в вакууме. Между какими величинами дает связь теорема Гаусса?

19. В каких случаях поток вектора E через плоскую поверхность равен нулю? В каких случаях поток вектораE через замкнутую поверхность равен нулю?

20. Что такое циркуляция? Запишите условие потенциальности

21. Дайте определение потенциала электрического поля. Чему равен потенциал поля точечного заряда?

22. Какие поверхности называются эквипотенциальными? Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности?

23. Какова связь между потенциалом и напряженностью электрического поля? Выведите ее.

24. Каково взаимное расположение эквипотенциальных поверхностей и силовых линий электрического поля?

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ:

В точке с координатами X 1 =0, Y 1 =0 находится точечный зарядq 1 .

В точке с координатами X 2 иY 2 =0 находится точечный зарядq 2 . Зарядq 3 помещается в точку поля с координатамиX 3 , Y 3 . Система зарядов находится в воздухе.

Числовые значения X 2 , X 3 , Y 3 , q 1 , q 2 иq 3 задаются для каждого варианта (таблица 6):

ТАБЛИЦА 6. Числовые значения величин X 3

Определите: а) В ОТСУТСТВИЕ ЗАРЯДА q 3 :

Определить силу Кулона F 12 , действующую на зарядq 2 со стороны

заряда q 1 и указать на рисунке ее направление;

Определить потенциальную энергию системы зарядов q 1 иq 2 ; Определить напряженность поляE 3 в исследуемой точке поляX 3 , Y 3 , и

обозначить на рисунке ее направление;

Определить потенциал поля 3 в исследуемой точке поляX 3 , Y 3 .

б) ПОМЕСТИТЕ ЗАРЯД q 3 В ИССЛЕДУЕМУЮ ТОЧКУ ПОЛЯX 3 , Y 3 .

Определить силу Кулона F 3 , действующую на зарядq 3 со стороны зарядовq 1 иq 2 . Обозначить на рисунке ее направление;

Определить потенциальную энергию заряда q 3 в поле системы зарядов

q 1и q 2.

Дополнительная задача:

Определить заряд, емкость и потенциал Земли, считая ее шаром радиусом 6·10 3 км и зная, что напряженность поля около поверхности равна100 В/м.

Что показывают силовые линии?

Для чего они используются?

Найдём напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом q 0 . По закону Кулона этот заряд будет действовать на положительный заряд q с силой

Модуль напряжённости поля точечного заряда q 0 на расстоянии г от него равен:

Вектор напряжённости в любой точке электрического поля направлен вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд (рис. 14.14), и совпадает с силой, действующей на точечный положительный заряд, помещённый в данную точку. Силовые линии электрического поля точечного заряда, как следует из соображений симметрии, направлены вдоль радиальных линий (рис. 14.15, а).

Рассмотрим теперь вопрос об электрическом поле заряженного проводящего шара радиусом R. Заряд q равномерно распределён по поверхности шара. Силовые линии электрического поля, также из соображений симметрии, направлены вдоль продолжений радиусов шара (рис. 14.15, б).

Распределение в пространстве силовых линий электрического поля шара с зарядом q на расстояниях r ≥ R от центра шара аналогично распределению силовых линий поля точечного заряда q (см. рис. 14.15, а). Следовательно, на расстоянии r ≥ R от центра шара напряжённость поля определяется той же формулой (14.9), что и напряжённость поля точечного заряда, помещённого в центре сферы:

Принцип суперпозиции полей. Если на тело действует несколько сил, то согласно законам механики результирующая сила равна геометрической сумме этих сил:

1 + 2 + ... .

На электрические заряды действуют силы со стороны электрического поля. Если при наложении полей от нескольких зарядов эти поля не оказывают никакого влияния друг на друга, то результирующая сила со стороны всех полей должна быть равна геометрической сумме сил со стороны каждого поля. Опыт показывает, что именно так и происходит на самом деле. Это означает, что напряжённости полей складываются геометрически.

В этом состоит принцип суперпозиции полей.

Принцип суперпозиции полей Если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля, напряжённости которых 1 , 2 , 3 и т. д., то результирующая напряжённость поля в этой точке равна сумме напряжённостей этих полей: 1 + 2 + 3 + ... . (14.11) Напряжённость поля, создаваемого отдельным зарядом, определяется так, как будто других зарядов, создающих поле, не существует.

Согласно принципу суперпозиции полей для нахождения напряжённости поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно знать выражение (14.9) для напряжённости поля точечного заряда. Для определения направления векторов напряжённостей полей отдельных зарядов мысленно помещаем в выбранную точку положительный заряд.

На рисунке 14.16 показано, как определяется напряжённость поля в точке А, созданного двумя точечными зарядами q 1 и q 2 .

Вопросы к параграфу

1. Чему равна напряжённость поля заряженного проводящего шара?

2. Чему равна напряжённость поля точечного заряда?

3. Как направлена напряжённость поля заряда q 0 , если q 0 > 0? если q 0 < 0?

4. Как формулируется принцип суперпозиции полей?

1. Электрический заряд. Электрическое поле. Поле точечного заряда. Суперпозиции. Распределение зарядов. Геометрическое описание электрического поля.

Электрический заряд частицы является одной из основных, первичных ее характеристик. Свойства: 1)существует в 2х видах: поло­жительный и отрицательный; 2)закон сохранения электрического заряда : в любой электрически изолированной системе алгебраиче­ская сумма зарядов не изменяется; 3)электрический заряд является релятивистски-инвариантным: его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется он или покоится.

Электрическое поле. Взаимодействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий электрический заряд q изменяет определенным обра­зом свойства окружающего его пространства - создает элект­рическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, «пробный», заряд испытывает действие силы

F = q"E , где вектор Е называют напряженностью электрического поля в данной точке. Вектор Е, можно определить как силу, действующую на единичный положите­льный неподвижный заряд. Проб­ный заряд q" должен быть достаточно малым, чтобы его вне­сение не вызвало заметного искажения поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Поле точечного заряда . Из опыта следует, что напряженность поля неподвижного точеч­ного заряда q на расстоянии r от него можно представить как,

где ε 0 - электрическая постоянная; е r - орт радиуса-вектора г, проведенного из центра поля, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки. Здесь коэффициент 1/4πε 0 = =9 10 9 м/Ф, заряд q определяют в кулонах (Кл), напряженность поля Е - в вольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q век­тор Е направлен так же, как и r, или противоположно ему. По существу формула выражает не что иное, как закон Кулона, но в «полевой» форме.

Принцип суперпозиции : напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:

где r i - расстояние между зарядом q i и интересующей нас точ­кой поля.

Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным не­прерывным распределением.

При переходе к непрерывному распределению вводят поня­тие о плотности зарядов - объемной ρ, поверхностной σ и ли­нейной λ. По определению, ρ=dq/dV, σ=dq/dS, λ=dq/dl, где dq - заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхности dS и на длине dl. Можно представить принцип суперпозиции так:

Геометрическое описание электрического поля. Зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле с помощью линий напряженности, или линий вектора Е. Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, т. е. число линий, пронизывающих единичную площад­ку, перпендикулярную линиям в данной точке, была бы про­порциональна модулю вектора Е. Кроме того, этим линиям приписывают направление, совпадающее с направлением век­тора Е.

2. Поток вектора Е. Теорема Гаусса (интегральная и дифференциальная форма).

Поток вектора Е. Будем считать, что густота линий Е равна модулю вектора Е. Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой составляет угол а с вектором Е, определяется согласно как Е dS cosa. Эта величина и есть поток dФ вектора Е сквозь площадку dS. В более компактной форме dФ=E n dS=E dS, где Е п - проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS, dS - вектор, модуль которого равен dS, a направление совпа­дает с нормалью n к площадке. Заметим, что выбор направле­ния вектора n (а следовательно, и dS) условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону. Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то по­ток вектора Е сквозь нее:

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфи­гурации поля Е, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль n брать наружу об­ласти, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль.

Теорема Гаусса. поток век­тора Е сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на ε о.

Доказательство: Сначала рассмотрим поле одно­го точечного заряда q. Окружим этот заряд произвольной зам­кнутой поверхностью S и найдем поток вектора Е сквозь элемент dS:

где dΩ - телесный угол, опирающийся на элемент поверхности dS, с вершиной в точке расположения заряда q. Интегрирование этого выражения по всей поверхности S эк­вивалентно интегрированию по всему телес­ному углу, т. е. заменив dΩ на 4π, полу­чим Ф = q/ε 0 , как и требует формула (1.7). При более сложной форме замкнутой поверхности углы а могут быть больше π/2, а значит, cos а и dΩ в (1.8) принимают как положительные, так и отрицательные значения. Т.о, dΩ - величина алгебраическая: если dΩ опирается на внутреннюю сторону поверхности S, то dΩ> 0, если же на внешнюю сторону, то dΩ< 0.

Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле созда­ется системой точечных зарядов. В этом случае со­гласно принципу суперпозиции Е = e 1 + Е 2 + ..., где e 1 - поле, создаваемое зарядом q 1 и т. д. Тогда поток вектора Е можно за­писать так:

Согласно предыдущему каждый интеграл в правой части ра­вен q i /ε 0 , если заряд q i находится внутри замкнутой поверхности S, и нулю, если снаружи поверхности S. Поэтому в правой части останется алгебраическая сумма только тех зарядов, ко­торые находятся внутри поверхности S.

Для завершения доказательства остается учесть случай, когда заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, зависящей от координат. В этом случае можно считать, что каждый элементарный объем dV содержит «точеч­ный» заряд ρdV. Тогда в правой части (1.7):

где интегрирование проводится только по объему, заключенно­му внутри замкнутой поверхности S.

Дифференциальная форма теоремы Гаусса: представим сначала заряд q в объеме V, охватыва­емом замкнутой поверхностью S, как q внутр = <ρ>V, где <ρ> - среднее по объему V значение объемной плотности заряда. За­тем подставим это выражение в уравнение (1.7) и разделим обе части его на V. В результате получим

Теперь устремим объем V к нулю, при этом <ρ> будет стремиться к значению ρ в данной точке поля, а значит, отношение в левой части уравнения будет стремиться к ρ/ε о. Величину, являющуюся пределом отношения ∫Е dS к V при V→ 0, называют дивергенцией поля Е и обозначают div E. Та­ким образом, по определению

Дивергенция является скалярной функцией координат. Выражение для дивергенции зависит от выбора системы координат. В декартовой системе координат:

Итак, при V→0 в выражении (1.15) его правая часть стремится к ρ/ε 0 , а левая - к divE. Следователь­но, дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той же точке уравнением divE=ρ/ε 0 (Ñ·E=ρ/ε 0 .) Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциаль­ной форме. вектор Е, то получим не что иное, как div E(или ÑЕ). В дифференциальной форме теорема Гаусса является лока­льной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит то­лько от плотности электрического заряда ρ в той же точке.

Теорема о циркуляции вектора Е (интегральная и дифференциальная форма). Потенциал поля точечного заряда. Потенциал поля системы зарядов. Связь между потенциалом и вектором Е. Эквипотенциальные поверхности.

Электростатическое поле является стационарным. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля Е в точку 2, взять единичный положительный заряд, то элементарная рабо­та сил поля на перемещении dl равна Е dl, а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как

Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным. Из независимости линейного интег­рала (1.21) от пути между двумя точками следует, что по про­извольному замкнутому пути этот интеграл равен нулю. Интег­рал (1.21) по замкнутому пути называют циркуляцией вектора Е и обозначают

Теорема о циркуляции вектора Е: циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю, т. е.(+д­–во)

Потенциал . Тот факт, что линейный интеграл (1.21), представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положите­льного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат φ(r), убыль которой,

где φ 1 и φ 2 - значения функции φ в точках 1 и 2. Величина φ(r) называется потенциалом поля Потенциал - это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение φ 0 . Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.23) однозначно. Если изменить φ 0 на некоторую величину Δφ, то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля. Таким образом, потенциал φ определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Единицей потенциала является вольт (В).

Потенциал поля точечного заряда . Формула (1.23) справедлива не только для конечных перемеще­ний, но и для элементарных dl. Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть –dφ=E dl (1.24)

Если известно поле Е(r), то для нахожде­ния φ надо представить Е dl как убыль некоторой функции. Эта функция и есть φ. Найдем таким способом потенциал поля неподвижного то­чечного заряда:

где учтено, что e r dl = 1 (dl) r , т.к. проекция вектора dl на век­тор е г, а значит, и на r равна приращению модуля вектора r, т. е. dr. Величина, стоящая в круглых скобках под знаком диф­ференциала, и есть φ(r). Так как присутствующая здесь адди­тивная константа никакой физической роли не играет, ее обыч­но опускают. Т.о.:

Отсутствие в этом выражении аддитивной константы озна­чает, что мы полагаем потенциал на бесконечности (r → ∞) равным нулю.

Потенциал поля системы зарядов . Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов q 1 ,q 2 ,... Согласно принципу су­перпозиции в любой точке поля напряженность Е = Е 1 + Е 2 +..., где e 1 - напряженность поля заряда q 1 и т. д. Тогда мож­но записать, используя формулу (1.24): Edl=(Е 1 +Е 2 +...)dl=Е 1 dl+ Е 2 dl+...= –dφ 1 –dφ 2 –…= –dφ, где φ=Σφ, т. е. принцип суперпозиции оказывается справед­ливым и для потенциала. Таким образом, потенциал системы неподвижных точечных зарядов

r i - расстояние от точечного заряда q i до интересующей нас точки поля. Если заряды, образующие систему, распределены непрерыв­но, то считаем, что каждый элементарный объем dV содержит «точечный» заряд ρdV, где ρ - объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV. С учетом это­го формуле (1.26) можно придать иной вид:

Если заряды распо­ложены только на поверхности S, то

где σ - поверхностная плотность заряда; dS - элемент поверх­ности S.

Связь между потенциалом и вектором Е. Пусть перемещение dl параллельно оси X, тогда dl = i dx, где i - орт оси X, dх - приращение координаты х, Е dl = Е i dx = Е х dx, где Е х - проекция вектора Е на орт i (а не на перемещение dl). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.24), получим E x = –∂φ/–∂x (1.29) Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций Е у и E z . А определив Е х, Е у, Е г, легко найти и сам вектор Е:

Эквипотенциальные поверхности - поверхности, во всех точках ко­торых потенциал φ имеет одно и то же значение. Вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эк­випотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенци­ала φ. Вектор Е на­правлен в сторону уменьшения φ, или в сторону, противопо­ложную вектору Ñφ.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях: