Чему равна электроемкость при последовательном соединении конденсаторов. Соединение конденсаторов: руководство для начинающих

Сообщённый проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, что напряжённость поля внутри проводника равна нулю. Если проводнику сообщить такой же заряд q, то он распределится по поверхности проводника. Отсюда вытекает, что потенциал проводника пропорционален находящемуся на нём заряду:

q = Cφ (12.49)

Коэффициент пропорциональности С называют электроёмкостью:

Электроёмкость проводника или системы проводников – физическая величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрические заряды .

Единица электроёмкости – фарад (Ф).

Для примера рассчитаем электроёмкость уединённого проводника, имеющего форму сферы. Используя соотношение между потенциалом и напряжённостью электростатического поля, запишем

(12.51)

R – радиус сферы.

При вычислении полагаем, что φ ∞ =0. Получаем, что электроёмкость уединённой сферы равна

(12.52)

Из соотношения видно, что электроёмкость зависит как от геометрии проводника, так и от относительной диэлектрической проницаемости среды.

Конденсаторы – это система из двух проводников, обкладок, разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок . Тогда электрическое поле, создаваемое зарядами на конденсаторе, будет практически целиком сосредоточено между его обкладками (рис.12.33). Электроёмкость определяется геометрией конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.

По форме исполнения различают плоские, цилиндрические, сферические и слоистые конденсаторы.

Плоские конденсаторы (рис.12.34). Электроёмкость плоского конденсатора

(12.53)

(S – площадь обкладка конденсатора, d - расстояние между обкладками, ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющая пространство между обкладками).

(12.54)

(R 1 и R 2 – радиусы аксиальных цилиндров, ℓ- длина образующей цилиндров).

Сферические конденсаторы (рис.12.36). Электроёмкость сферического конденсатора

(12.55)

(R 2 и R 1 – радиусы сферы; ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между сферами).

Слоистые конденсаторы. Электроёмкость слоистого конденсатора, т.е. конденсатора, имеющего слоистый диэлектрик,

(12.56)

Для получения необходимой электроёмкости конденсаторы соединяют в батарею. Различают два соединения конденсаторов: параллельное и последовательное.

При параллельном соединении конденсаторов общий заряд батареи равен

q = q 1 +q 2 +q 3 , но так как q 1 = U AB C 1 ; q 2 = U AB C 2 ; q n = U AB C n , то q = U AB (C 1 + C 2 +…+ C n), откуда

т.е.

В электротехнике существуют различные варианты подключения электрических элементов. В частности, существует последовательное, параллельное или смешанное соединение конденсаторов, в зависимости от потребностей схемы. Рассмотрим их.

Параллельное соединение

Параллельное соединение характеризуется тем, что все пластины электрических конденсаторов присоединяются к точкам включения и образовывают собой батареи. В таком случае, во время заряда конденсаторов каждый из них будет иметь различное число электрических зарядов при одинаковом количестве подводимой энергии

Схема параллельного крепления

Емкость при параллельной установке рассчитывается исходя из емкостей всех конденсаторов в схеме. При этом, количество электрической энергии, поступающей на все отдельные двухполюсные элементы цепи, можно будет рассчитать, суммировав сумму энергии, помещающейся в каждый конденсатор. Вся схема, подключенная таким образом, рассчитывается как один двухполюсник.

C общ = C 1 + C 2 + C 3

Схема – напряжение на накопителях

В отличие от соединения звездой, на обкладки всех конденсаторов попадает одинаковое напряжение. Например, на схеме выше мы видим, что:

V AB = V C1 = V C2 = V C3 = 20 Вольт

Последовательное соединение

Здесь к точкам включения присоединяются контакты только первого и последнего конденсатора.

Схема – схема последовательного соединения

Главной особенностью работы схемы является то, что электрическая энергия будет проходить только по одному направлению, значит, что в каждом из конденсаторов ток будет одинаковым. В такой цепи для каждого накопителя, независимо от его емкости, будет обеспечиваться равное накопление проходящей энергии. Нужно понимать, что каждый из них последовательно соприкасается со следующим и предыдущим, а значит, емкость при последовательном типе может воспроизводиться энергией соседнего накопителя.

Формула, которая отражает зависимость тока от соединения конденсаторов, имеет такой вид:

i = i c 1 = i c 2 = i c 3 = i c 4 , то есть токи проходящие через каждый конденсатор равны между собой.

Следовательно, одинаковой будет не только сила тока, но и электрический заряд. По формуле это определяется как:

Q общ = Q 1 = Q 2 = Q 3

А так определяется общая суммарная емкость конденсаторов при последовательном соединении:

1/C общ = 1/C 1 + 1/C 2 + 1/C 3

Видео: как соединять конденсаторы параллельным и последовательным методом

Смешанное подключение

Но, стоит учитывать, что для соединения различных конденсаторов необходимо учитывать напряжение сети. Для каждого полупроводника этот показатель будет отличаться в зависимости от емкости элемента. Отсюда следует, что отдельные группы полупроводниковых двухполюсников малой емкости будут при зарядке становиться больше, и наоборот, электроемкость большого размера будет нуждаться в меньшем заряде.

Схема: смешанное соединение конденсаторов

Существует также смешанное соединение двух и более конденсаторов. Здесь электрическая энергия распределяется одновременно при помощи параллельного и последовательного подключения электролитических элементов в цепь. Эта схема имеет несколько участков с различным подключением конденсирующих двухполюсников. Иными словами, на одном цепь параллельно включена, на другом – последовательно. Такая электрическая схема имеет ряд достоинств сравнительно с традиционными:

Можно использовать для любых целей: подключения электродвигателя, станочного оборудования, радиотехнических приборов;
Простой расчет. Для монтажа вся схема разбивается на отдельные участки цепи, которые рассчитываются по отдельности;
Свойства компонентов не изменяются независимо от изменений электромагнитного поля, силы тока. Это очень важно при работе с разноименными двухполюсниками. Ёмкость постоянна при постоянном напряжении, но, при этом, потенциал пропорционален заряду;
Если требуется собрать несколько неполярных полупроводниковых двухполюсников из полярных, то нужно взять несколько однополюсных двухполюсника и соединить их встречно-параллельным способом (в треугольник). Минус к минусу, а плюс к плюсу. Таким образом, за счет увеличения емкости изменяется принцип работы двухполюсного полупроводника.

Величина электроемкости зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники. Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами , а проводники, составляющие конденсатор, называются обкладками . Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским. Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами (рис. 4.6.1); однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом ряде задач можно приближенно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками (рис. 4.6.2). Но в других задачах пренебрежение полем рассеяния может привести к грубым ошибкам, так как при этом нарушается потенциальный характер электрического поля (см. § 4.4).

Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи поверхности электрическое поле, модуль напряженности которого выражается соотношением (см. § 4.3)

Внутри конденсатора вектора и параллельны; поэтому модуль напряженности суммарного поля равен

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз:

Конденсаторы могут соединяться между собой, образуя батареи конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 4.6.3) напряжения на конденсаторах одинаковы: U1 = U2 = U, а заряды равны q1 = С1U и q2 = С2U. Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор электроемкости C, заряженный зарядом q = q1 + q2 при напряжении между обкладками равном U. Отсюда следует

Электрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника называют величину

где q – его заряд, φ - потенциал.

Формулы для расчета электроемкости тел различной геометрической формы, приведены в таблице 3.

Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формы

Геометрическая форма заряженного тела	C , Ф
Уединенный шар радиуса R		где ε – диэлектрическая проницаемость среды, в которую помещен шар
Плоский конденсатор		где q – заряд на одной из обкладок, U= φ 1 - φ 2 – разность потенциалов между обкладками
Плоский конденсатор		где S– площадь обкладки, ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками,d– расстояние между обкладками
Сферический конденсатор		R 1, R 2 – радиусы сфер, ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между сферами
Цилиндрический конденсатор		R 1, R 2 – радиусы цилиндров,h– длина конденсатора, ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4.

Таблица 4

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение	Параллельное соединение

C = C 1 +C 2 +… + C n .

Плотность энергии электрического поля:

Конденсатор с емкостью С, заряженный зарядом q до разности потенциалов U, обладает энергией

Примеры решения задач

Задача 1. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого равно 5 мм, заряжен до разности потенциалов 6 кВ. Площадь пластин конденсатора равна 12,5 см 2 , пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами:

конденсатор остается соединенным с источником напряжения;

перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения.

а) изменение емкости конденсатора;

б) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов;

в) изменение объемной плотности энергии электрического поля.

Решение задачи проведем отдельно для 1 –го и 2 –го случая.

1-й случай: конденсатор остается соединенным с источником напряжения.

Дано: Решение:

1. Сделаем пояснительный чертеж

2. При раздвижении пластин конденсатора, присоединенного к источнику тока, разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника.

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора, а следовательно, и заряд на его пластинах, и напряженность поля конденсатора.

Это приводит к изменению потока напряженности:

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля:

Пользуясь формулами (2)-(6), легко определить изменение величин: емкости, потока напряженности сквозь площадь электродов, объемной плотности энергии электрического поля. Все величины, характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d 1 обозначаем с индексом “1”, а с расстоянием d 2 – с индексом “2”. Получим следующие расчетные формулы:

Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет значений искомых величин:

2-й случай: перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения.

Дано: Решение:

1. Сделаем пояснительный чертеж.

При раздвижении пластин конденсатора, отключаемого от источника тока, заряд на пластинах измениться не может:

(2); (3);(4);(5),

то при этом изменяется электроемкость конденсатора, а следовательно, и разность потенциалов между пластинами. Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной:

Пользуясь формулами (1) – (5), запишем:

5. Раздвижение пластин конденсатора при приводит к уменьшению электроемкости () и увеличению разности потенциалов между пластинами (). Поток вектора напряженности и объемная плотность энергии конденсатора остаются постоянными (). Энергия электрического поля конденсатора(поле однородное) при этом возрастает (V 2 >V 1, W 2 >W 1). Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин.

Задача 2. Какие изменения произойдут, если в заряженный плоский конденсатор поместить два диэлектрика с (рис.13)?

Рассмотрим случай, когда помещение диэлектрика можно произвести при вертикальном заполнении пластин.

1. Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух конденсаторов, соединенных параллельно (рис.14).

Где , (1) а. (2)

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором.

При таком заполнении электроемкость увеличивается в раз.

2. Определим, как перераспределится заряд на конденсаторах.

Первоначальный заряд q 0 определим из определения электроемкости.

В связи с тем, что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока, то, по закону сохранения заряда, этот заряд q 0 перераспределится между двумя конденсаторами ипри одинаковом на них напряжении.

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика, тем больший заряд будет на этом конденсаторе.

3. В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится.

Подставим (3) и получим:

Напряжение увеличится в раз.

4. Рассмотрим, изменится ли напряженность электростатического поля в батарее конденсаторов.

Первоначально напряженность поля равна:

, .

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в раз больше первоначальной.

5. Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится:

, но первоначально , поэтому.

Поток вектора напряженности увеличится в раз.

Оценим энергию поля.

Первоначально объемная плотность энергии электрического поля

Т.к. был задан воздушный конденсатор.

Теперь плотность энергии каждого конденсатора:

Полная энергия:

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках.

Ответ: полная энергия увеличится.