ПРАКТИКУМ «СОФИЗМ И СОФИСТЫ»
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Софи́зм (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») - ложное умозаключение, которое, тем не-менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажется верной и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа
Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора о том, что задача софиста - представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. (Известно, что сам Протагор оказался жертвой «софизма Эватла 1 »).
С этой же идеей обычно связывают и «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины . Уже Платон заметил, что основание не должно заключаться в субъективной(личной) воле человека , иначе придётся признать законность противоречий (что, между прочим, и утверждали софисты), а поэтому любые суждения считать обоснованными. Эта мысль Платона была развита в аристотелевском «принципе непротиворечия» (Логический закон) и, уже в современной логике, - в истолкованиях и требовании доказательств «абсолютной» непротиворечивости.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Что такое софизм? Для чего софисты использовали софизмы? Опираясь на полученные знаия и справочный материал, ответьте на вопросы.
2.Используя основы терминологии в области логики проанализируйте и опровергните любые три софизма из приведённых ниже. На каком этапе построения софизма(большая посылка, меньшая посылка) есть ошибка (противоречие, обобщение, подмена значения слова и т.д.), т.е. какие из посылок каждого софизма ложные и почему?
Софизм является видом силлогизма .
силлоги́зм (греч. συλλογισμός) - рассуждение, состоящее из трёх простых … высказываний: двух посылок и одного заключения. Посылки силлогизма разделяются на 1.бо́льшую содержит предикат заключения) и 2.меньшую (которая содержит субъект заключения).
Пример силлогизма:
Всякий человек смертен (бо́льшая посылка)
Сократ - человек (меньшая посылка)
Сократ смертен (заключение)
3. Сформулируйте один или несколько своих софизмов
*4.Согласны ли Вы с Протагором, что мнение человека – это мера истины?
Рогатый
Есть ли у тебя то, что ты не терял? Конечно есть. Ты рога не терял, значит они у тебя есть.(«софизм Эвбулида»)
Девушка - не человек Доказательство от противного. Допустим, девушка - человек. Девушка - молодая, значит девушка - молодой человек. Молодой человек - это парень. Противоречие. Значит девушка - не человек.
Не знаешь то, что знаешь
Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить? - Нет. - Знаешь ли ты, что добродетель есть добро? - Знаю. - Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.
Лекарства
Лекарство, принимаемое больным, есть добро;-Чем больше делать добра, тем лучше; -Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.
«Чем больше» «Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки; Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю; Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».
«Софизм Кратила»
Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил , сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится.()
Чётное и нечётное
5 есть 2 + 3 («два и три»);
Два - число чётное, три - нечётное, выходит, что пять - число и чётное и нечётное;
Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа нечётные.
«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
Современный софизм
«Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, теперь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».
1 «Софизм Эватла» Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: "Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора". На это Эватл отвечал: "Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда". (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.)
Кузнецова Людмила
Творческая работа
Введение.
Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел?
В отличие от непроизвольной логической ошибки - паралогизма,являющейся следствием невысокой логической культуры, софизм - это преднамеренное, но тщательно замаскированное нарушение требований логики.
Вот примеры довольно простых древних софизмов. «Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего». «Лекарство, принимаемое больным, есть добро; чем больше делать добра, тем лучше; значит, лекарство нужно принимать в больших дозах».
Софизмы древних нередко использовались с намерением ввести в заблуждение. Но они имели и другую, гораздо более интересную сторону. Очень часто софизмы ставят в неявной форме проблему доказательства. Сформулированные в тот период, когда науки логики еще не было, древние софизмы прямо ставили вопрос о необходимости ее построения. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. И в этом плане софизмы непосредственно содействовали возникновению особой науки о правильном, доказательном мышлении.
Софизмы использовались и теперь продолжают использоваться для тонкого, завуалированного обмана. В этом случае они выступают в роли особого приема интеллектуального мошенничества, попытки выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение.
Глава 1. «Понятие софизма. Исторические сведения»
Понятие софизма:
Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.
Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.
Историческая справка.
Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Основным направление деятельности софистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.
Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста- представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. Там не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов.
Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным. Кроме того, Сократа и по сей день считают самым мудрым философом.
Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида: «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это- двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . .», то вывод стал бы логически безупречным.
Аристотель называл софистику не действительной, а кажущейся, мнимой мудростью. Софистика произрастает на искаженном понимании подвижности вещей, используя гибкость отражающих мир понятий.
Вот один из древних ее образчиков.
- Знаешь ли ты, о чем я хочу тебя спросить?
- Нет.
- Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
- Знаю.
- Вот об этом я и хотел тебя спросить.
Софизм обескураживает: дескать, возможны положения, когда человек не знает того, что он хорошо знает. С другой стороны - хорошо было в древности! Все знали, что добродетель есть добро, и не сомневались в этом.
Некий Эватл брал уроки софистики у философа Протагора на условии, что плату за обучение он внесет, когда, после окончания обучения, выиграет свой первый процесс. Но окончив обучение, Эватл и не думал браться за ведение процессов. Вместе с тем считал себя свободным и от уплаты денег за учебу. Тогда Протагор пригрозил судом, заявив, что в любом случае Эватл будет платить. Если судьи присудят к уплате, то по их приговору, если же не присудят, то в силу договора. Ведь тогда Эватл выиграет свой первый процесс. Но Эватл был хорошим учеником. Он возразил, что при любом исходе дела он платить не станет. Если присудят к уплате, то процесс будет проигран и согласно договору между ними он не заплатит. Если не присудят, то платить не надо уже в силу приговора суда. Чем кончился спор, история умалчивает.
А вот софизм - песенка английских студентов.
Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
Не философия, а мечта лентяев!
Широко известный российский анекдот является прямым переложением этой песенки на национальную специфику.
Чем больше я пью, тем сильнее у меня дрожат руки.
Чем сильнее у меня дрожат руки, тем больше я проливаю.
Чем больше я проливаю, тем меньше я пью.
Таким образом, чем больше я пью, тем меньше я пью.
Это уже не просто софизм, а прямой парадокс.
У ученых есть такое свойство: поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются. Проявляя чудеса изобретательности и изворотливости.
"Когда опыт кончается неудачей, начинается открытие" - так сказал известный немецкий изобретатель XIX века Р. Дизель, которому человечество обязано высокоэкономичными двигателями внутреннего сгорания. А он-то был, без сомнения, знатоком своего дела. И обязательно - педантом. Потому что только педант мог полтора десятка лет усовершенствовать свой двигатель, первый экземпляр которого сделал всего семь оборотов. Не семь оборотов в секунду, а семь оборотов за все время своей эксплуатации.
Зато теперь, как мне кажется, общее число оборотов всех дизельных двигателей на Земле приближается к числу атомов во вселенной. А число софизмов и парадоксов остается почти тем же самым, что и в древние времена. Наверное, потому, что трудолюбивых Дизелей в истории человечества было все-таки значительно больше, чем хитроумных Протагоров, скупых Эватлов и клевещущих Эпименидов. И это обнадеживает.
Вот несколько интересных логических софизмов:
Начнем анализ софизма Рогоносца: 1) то, что ты не терял, у тебя есть; 2) ты не терял рогов; 3) следовательно, у тебя есть рога. Парадоксально! И эффектно, не правда ли? Однако после некоторого умственного напряжения становится ясно, что парадоксальность вывода в этом софизме происходит из-за 1-ой его посылки, которая представляет из себя неудачную попытку определения отношения “иметь”: если А не терял Б, то А имеет Б. Неочевидная ошибочность этого определения следует из его необратимости, то есть очевидной ошибочности его обращения: неверно, что если А имеет Б, то А не терял Б, так как чтобы что-то потерять, нужно сначала иметь это. Следовательно, правильная формулировка выглядит так: если А имел Б и А не имеет Б, то А потерял Б. На правильность этой формулировки указывает и ее обратимость. Если теперь из отрицания обращения этой посылки (если А не терял Б, то А имел Б и А имеет Б) исключить 1-ую часть правой части (А имел Б), то получится неправильная 1-ая посылка софизма Рогоносца. Более корректно она выглядела бы так: в некоторых случаях если А не терял Б, то А имеет Б (а именно в тех случаях, когда еще и А имел Б). “В некоторых случаях” и “в любом случае” - это, как нетрудно видеть, кванторы. Таким образом, кванторы имеют значение также и в высказываниях об отношениях, они вездесущи. Но вездесуще также и стремление опускать их, которое при некоторых дополнительных обстоятельствах порождает то ли умышленно, то ли нечаянно разнообразные то ли софизмы, то ли паралогизмы.
Посмотрим теперь, что добавит к нашим знаниям о природе софизмов анализ софизма о сидящем. Вот этот софизм: 1) сидящий встал; 2) кто встал, тот стоит; 3) следовательно, сидящий стоит. На первый взгляд замечаний к этому силлогизму (с точки зрения его внутреннего строения) нет и не предвидится. Очевидно только замечание к выводу силлгизма: “сидящий стоит” эквивалентно высказыванию “тот, кто сидит, стоит” или “А сидит и А стоит”. Точно так же 1-ая посылка “сидящий встал” преобразуется в “тот, кто сидит, встал” или “А сидит и А встал”. Итак, получается, что ошибка содержится в 1-ой посылке силлогизма, так как “А сидит” и “ А встал” не могут быть одновременно истинными. Правильно было бы “сидевший встал”. Именно в этом случае получаемый в результате вывод не вызывает замечаний: “сидевший стоит”. Следовательно, в данном софизме-паралогизме незаметное возникновение ошибочной посылки происходит из-за потери контроля за категорией времени причастия: как только сидящий встал, его больше уже нельзя называть сидящим, так как он при этом немедленно превращается в сидевшего. Но поскольку такая потеря контроля, по-видимому, естественна для естественного языка (как и потеря контроля за употреблением кванторов), то она и проходит, как правило, незамеченной не только для приемников, но и для источников высказывания.
Разобранный выше софизм о сидящем подсказал автору идею софизма о малом: 1) малый вырос; 2) кто вырос, тот большой; 3) следовательно, малый - большой. Нельзя не согласиться с тем, что этот софизм, хоть и обладает юмористическими свойствами, все же дает новые знания о софизмах. Парадоксальный вывод здесь получается не только вследствие потери контроля над формой времени отношения “расти”, но и вследствие потери контроля над взаимосвязью содержаний понятий “малый” и “расти”, которая состоит в том, что отношение “расти” определяется как превращение из малого в большое. Аналогичная связь между содержаниями понятий (“сидеть”, “вставать” и “стоять”) прослеживается и в предыдущем софизме - о сидящем.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Трудно, изучая математику, не заинтересоваться математическими софизмами. В 2003 году в издательстве “Просвещение” вышла книга А.Г. Мадеры и Д.А.Мадеры “Математические софизмы”, в которой более восьмидесяти математических софизмов, по крупицам собранным из различных источников. Цитата из книги: “Математический софизм представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату. Причем полученный результат может противоречить всем нашим представлениям, но найти ошибку в рассуждении зачастую не так-то просто; иной раз она может быть и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная демонстрация “доказательства” явно неверного результата, в чем и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению.”
Для развития познавательной деятельности математические софизмы можно применять при изучении математики в школе:
Математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем.
При разборе МС выделяются основные ошибки, “прячущиеся” в МС:
Цели применения МС на уроках математики могут быть самыми разнообразными:
Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.
Алгебраические софизмы.
1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»
решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1)
У=4- х/2 (2)
подстановкой у из 2го ур-я в 1 по-
лучаем х+8-х=6, откуда 8=6
где ошибка??
Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:
Х+2у=6,
Х+2у=8
В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.
Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
2. «Дважды два равно пяти».
Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2 -2da+d 2 =b 2 -2bd+d 2 , или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5
Где ошибка??
Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.
3. « Отрицательное число больше положительного».
Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:
А -а
С с
Они равны, так как каждое из них равно – (а/с). Можно составить пропорцию:
А -а
С с
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.
Где ошибка??
Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.
Геометрические софизмы.
1. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»
Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
Где ошибка??
Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.
2. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c .
Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc. Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда
b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.
Где ошибка??
В выражении b(b-a-c)= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.
3. «Катет равен гипотенузе»
Угол С равен 90 о , ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.
Где ошибка??
Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.
Вот одни из самых интересных и занимательных софизмов:
1. “ В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру”
В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС . Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению.
Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому
АВ=СЕ
т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.
Разбор софизма .
В софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Однако такого признака нет. Правильно сформулированный признак равенства треугольников гласит:
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. “ Окружность имеет два центра”
Построим произвольный угол ABC и, взяв на его сторонах две произвольные точки D и Е, восстановим из них перпендикуляры к сторонам угла. Перпендикуляры эти должны пересечься (если бы они были параллельны, параллельны были бы и стороны АВ и СВ). Обозначим их точку пересечения буквой F.
Через три точки D, E, F проводим окружность, что всегда возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой. Соединив точки Н и G (точки пересечения сторон угла ABC с окружностью) с точкой F, получим два вписанных в окружность прямых угла GDF и HEF.
Итак, мы получили две хорды GF и HF, на которые опираются вписанные в окружность прямые углы GDF и HEF. Но в окружности вписанный прямой угол всегда опирается на ее диаметр, следовательно, хорды GF и HF представляют собой два диаметра, имеющие общую точку F, лежащую на окружности.
Поскольку эти две хорды, являющиеся, как мы установили, диаметрами, не совпадают, то, следовательно, точки О и О 19 делящие отрезки GF и HF пополам, представляют собой не что иное, как два центра одной окружности.
Разбор софизма .
Ошибка здесь кроется в неправильно построенном чертеже. На самом деле окружность, проведенная через точки Е, F и, обязательно пройдет через вершину В угла ABC, т. е. точки В, Е, F и D обязательно должны лежать на одной окружности. Тогда, конечно, никакого софизма не возникает.
Действительно, восстановив перпендикуляры в точках Е и D к прямым ВС и ВА соответственно и продолжив их до взаимного пересечения в точке F, получаем четырехугольник BEFD . У этого четырехугольника сумма двух его противоположных углов BEF и BDF равна 180°. Но согласно известному в геометрии утверждению вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 180°.
Отсюда следует, что все вершины четырехугольника BEFD должны принадлежать одной окружности. Поэтому точки G и Н совпадут с точкой В и у окружности окажется, как и должно быть, один центр.
Арифметические софизмы.
1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»
Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.
Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему:
А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)
После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что
А>В+А (2),
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда
А>2В.
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.
Где ошибка??
Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2).
Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.
Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
10 р.=100000 коп. (3)
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Где ошибка??
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство
10 р. =100 000 к. ,
которое после деления на 10 дает
1 р. = 10 000 коп., (*)
а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп.
Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:
А>-В и В>-В. (1)
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство
А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что
А>В. (2)
Записав же два других столь же бесспорных неравенства
В>-А и А>-А, (3)
Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству
А>В. (4)
Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.
Где ошибка??
Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.
Проделаем правильные преобразования неравенств.
Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.
Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства
(А+В)(В+В)>0, или А>-В,
что представляет собой просто верное неравенство.
Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде
(В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А.
Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения..
Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.
Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.
Где ошибка??
Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.
Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111… сек.
Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!
Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.
Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.
Заключение.
О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. По началу я думала, что софизмы бывают исключительно математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я поняла, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.
Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам (и парадоксам) можно научится искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Если есть желание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерства в искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.
Софизм - слово греческого происхождения, а переводится оно как «выдумка» или «уловка». Данный термин используется для обозначения утверждения, которое является ложным, но при этом несущим частицу логики. Поэтому на первый взгляд оно кажется истинным. Но все же не всем понятно, что же представляет собой софизм и в чём заключается разница между ним и паралогизмом? Отличие состоит в том, что в софизмах используется сознательный преднамеренный обман, присутствует нарушение логики.
Софизмы стали интересовать человека много веков назад. Еще Аристотель высказывался по этому поводу: софизмы - это мнимое доказательство , появляющееся вследствие недостатка логического анализа, из-за чего суждение приобретает субъективный характер. Убедительные доводы используются в целях маскировки и призваны скрыть логическую ошибку, которая в любом софистском утверждении всегда присутствует.
Понять, что же такое софизм, не так сложно. Достаточно обратиться к примеру древнего нарушения логики: «Имеешь то, что не терял. Терял рога? Значит, у тебя есть рога». В данном случае имеет место упущение. Если добавить во фразу новое слово, можно получить следующее: «Имеешь все, что не терял». При подобной трактовке вывод становится верным, но он уже не кажется интересным. Первые последователи софистики говорили, что утверждение должно удовлетворять главному требованию - наихудший аргумент должен превратиться в лучший, а спор нужен для того, чтобы победить в нём, а не найти истину.
По словам софистов, любое мнение можно признать верным, но тогда происходит отрицание закона противоречия , который позднее сформулировал Аристотель. Всё это впоследствии привело к появлению множества разновидностей софизмов в разных науках.
Многие софизмы берут свое начало из терминологии, которая используется во время спора. Есть немало слов, имеющих разные трактовки. Это как раз и приводит к нарушению логики. К примеру, в математике софизмы строятся посредством изменения чисел, которые перемножают, а затем сравнивают исходные и полученные данные.
Еще софисты могут использовать в качестве приема неправильное ударение , ведь есть немало слов, которые теряют свой изначальный смысл при изменении ударения. Иногда встречаются столь запутанные фразы, которые могут вызвать неоднозначные трактовки. Ярким примером тому может быть такая арифметическая операция: два умножить на два плюс пять. Сложно сказать, что важнее всего в этой фразе - сумма двойки и пятерки, умноженная на два, либо сумма произведения двойки и пятерки.
Встречаются и более сложные логические софизмы, которые требуют подробного рассмотрения. К примеру, фраза может содержать посылку, которая требует доказательства. Иными словами, аргумент может считаться таковым лишь тогда, когда он доказан. Также нарушение может быть критика мнения оппонента , призванная разрушить ошибочно приписываемые ему суждения. С таким явлением очень часто сталкивается каждый из нас в повседневной жизни, когда люди приписывают друг другу определенные мотивы, которые им не принадлежат.
Также вместо фразы, сказанной с определенной оговоркой, может использоваться выражение, в котором подобная оговорка отсутствует. Поскольку внимание не заостряется на специально упущенном факте, утверждение приобретает довольно логически правильный и обоснованный вид.
Ярким примером нарушения нормального хода рассуждения является женская логика. Фактически, это сооружение цепочки мыслей, между которыми отсутствует логическая связь, но при поверхностном рассмотрении она может присутствовать.
Принято выделять психологические причины софизмов, среди которых наиболее распространенными являются:
Иными словами, если в разговоре участвует более подкованный человек, то ему стоит только завести своего оппонента в тупик, и тогда последний легко примет предложенную ему точку зрения. Человек, который неустойчив к аффективным реакциям, легко поддается своим чувствам и принимает софизмы за истинное утверждение. Подобные ситуации очень распространены, и в них очень часто попадают эмоциональные люди.
Выступая перед окружающими с софизмом, человек должен быть убедительным. Тогда у него будут больше шансов, что люди ему поверят . Именно на это и делается ставка, когда люди используют подобные приемы в споре. Но чтобы лучше понять, почему же люди прибегают к этому приему, необходимо подробнее познакомиться с ним, ведь нередко софизмы в логике очень часто остаются без внимания неподготовленного человека.
Хорошо подкованный человек, знакомый с основами софистики, всегда уделяет внимание тому, как и что он говорит, а также подмечает все аргументы собеседника, которые тот приводит в своей речи. Такие люди очень внимательны и не упустят ни одну мелочь. Они привыкли искать ответы на неизвестные вопросы, а не действовать по шаблонам. Вдобавок к этому они обладают большим словарным запасом, который позволяет максимально точно выражать свои мысли
.
Не последнюю роль здесь играет и объем знаний. При правильном использовании софизмов в математике интеллектуально развитому человеку проще добиться победы в споре, чем малограмотному и неразвивающемуся.
Одной из причин поражения в споре может быть боязнь последствий, поэтому человек может очень быстро отказаться от своей первоначальной точки зрения, будучи не способен привести убедительные доводы.
Когда два человека обсуждают свои точки зрения, они воздействуют на разум и чувства друг друга, а также на волю. Если человек уверен в себе и обладает таким ценным качеством, как напористость, то у него больше шансов отстоять свое мнение , даже если оно было сформулировано с нарушением логики. Наиболее эффективно применять этот прием против больших скоплений людей, которые подвержены эффекту толпы и не способны увидеть в речах человека софизм.
Оказавшись перед такими людьми, человеку не составит труда привести убедительные доказательства вне зависимости от того, что является предметом обсуждения. Но во время спора, в котором человек использует прием софизма, он должен быть очень активным. Публика, к которой он обращается, должна оставаться пассивной, поскольку такие люди легче всего подвергаются чужому влиянию.
Из этого можно сделать вывод: чтобы добиться необходимого результата при помощи софистских утверждений, каждая сторона, которая участвует в разговоре, должна вести себя особым образом. При этом качества каждой личности по отдельности влияют на исход обсуждаемого предмета.
Много веков назад первые приверженцы софистики сформулировали утверждение, где были показаны простые нарушения логики . Они предназначены для тренировки умения спорить, поскольку увидеть несоответствие в этих фразах очень просто.
Следует уметь различать парадоксы и софизмы, ведь это нетождественные друг другу понятия. Под парадоксом принято понимать суждение, которое способно доказать, что суждение может быть одновременно и ложным, и истинным . Это явление бывает двух видов:
В первом случае возникает вывод, который противоречит опыту. Это наглядно демонстрирует парадокс, который был сформулирован Зеноном: быстроногий Ахиллес все время отставал от черепахи, поскольку при каждом новом шаге она отдалялась на него на определенное расстояние, не давая ему догнать себя, поскольку процесс деления отрезка пути бесконечен.
Антиномию следует рассматривать как парадокс, который подразумевает наличие двух взаимоисключающих суждений , которые одновременно считаются истинными. Примером тому может служить фраза «я лгу». Ее можно рассматривать одновременно как истину и ложь. Но если человек во время ее произношения говорит правду, то его нельзя считать лжецом, хотя фраза указывает на обратное. Есть и другие занимательные логические парадоксы и софизмы, которые будут рассмотрены ниже.
Чаще всего в математике софизмы используются для того, чтобы доказать равенство неравных чисел или арифметических выражений. Яркий пример - когда сравнивается пятерка и единица. Если из пяти вычесть три, то результатом будет двойка. Отнимая же из тройки единицу, у нас получится двойка. Если возвести оба числа в квадрат, то в каждом случае результат будет одинаковым. Поэтому можно сделать вывод, что пять равно единице.
Появление в математике задач-софизмов главным образом происходит за счет преобразования исходных чисел . Например, когда их возводят в квадрат. После выполнения этих нехитрых действий можно получить, что результаты этих преобразований будут одинаковыми, что позволяет говорить о равенстве исходных данных.
Фредерик Бастиа является автором одних из самых распространенных софизмов. Среди них довольно известно нарушение логики «причина, препятствие». Первобытный человек был очень ограничен в своих возможностях. Поэтому для получения какой-либо вещи и результата ему приходилось решать множество задач.
Если рассмотреть простой пример с преодолением расстояния, то из него можно увидеть, что человеку сложно самостоятельно преодолеть все барьеры, которые могут возникнуть на пути любого одиночного путешественника. Мы живем в таком, где решением проблемы преодоления препятствий занимаются люди, которые специализируются на такого рода деятельности. И подобные препятствия эти люди сумели сделать для себя одним из главных источников заработка.
Появление любого нового препятствие озадачивает многих людей , которые пытаются их преодолеть. Поэтому наличие препятствий немыслимо для современного общества, ведь они дают возможность обогатиться каждому человеку в отдельности, а, значит, и всему обществу в целом.
О существовании софизмов сегодня знают только интеллектуально грамотные люди. Это один из эффективных приемов, который помогает человеку добиться победы в споре, хотя для этого у него нет никаких оснований. Человек выстраивает таким образом беседу с людьми, что используемые в его высказываниях фразы помогают убедить других людей в его правоте. Можно даже сказать, что он попросту запутывает человека
и не позволяет ему привести эффективные контраргументы, которые бы помогли отстоять его точку зрения.
Софизмы порой бывают настолько убедительными, что перед ними не могут устоять никакие другие доводы оппонентов. Однако победа в таком споре во многом зависит не только от самого человека, который использует софизмы, но и поведения тех людей, для которых они предназначены.
Софистика - это осознанное использование ложных доводов, которые способствуют лжи. По сути "Софистика " является тем же, что и понятие "Софизм " - преднамеренное ложное заключение, которое которое применяется с целью убедить своего собеседника.
Логические ошибки с нарушением правильности мышления могут быть разделены на два вида — паралогизмы и софизмы. Примеры софизмов , которые не всегда легко понять — ниже.
Оба термина означают ошибку в , однако первый термин подразумевает непреднамеренную погрешность. Софизм же — преднамеренное нарушение требований логики, интеллектуальное мошенничество, попытка выдать истину за ложь.
Термин «софизм» в переводе с греческого значит «хитрость». Изначально в Древней Греции софистами называли ремесленников, достигших мастерства в своем деле. Позже кличка перекочевала к профессиональным философам-мыслителям, только позже она приобрела нарицательное значение для тех, кто хитро обманывает слушателей. Как видите, философов в Древней Греции воспринимали весьма скептично.
Первый, кто называл себя софистом и публично выступал в качестве учителя добродетели, был, согласно Платону, Протагор . Из его произведений сохранились лишь немногие отрывки. Наиболее знаменательным из отрывков стал его задокументированный спор с Еватлом. Этот спор и считают одним из первых софизмов , который очень по душе лично мне:
Еватл был учеником Протагора. По заключённому между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Но, закончив обучение, он не стал участвовать в процессах, это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Своё требование Протагор обосновал так:
– Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой судебный процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то решение суда будет в мою пользу, и заплатить нужно будет согласно этому решению. Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:
– Действительно, я либо выиграю судебный процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.
Горгий был одним из первых ораторов нового типа - не только практиком, но и теоретиком красноречия, за плату обучавшим юношей из богатых семей говорить и логически мыслить. Такие учителя назывались «специалистами по мудрости», то есть софистами.
Горгий утверждал, что он учит не добродетели и мудрости, а только ораторскому искусству. Отходя от темы у него есть замечательный совет по ведению спор:
Серьёзные доводы противника опровергай шуткой, шутки - серьёзностью
Также к софистам можно отнести Гиппия, Крития, Антифона и многих других эллинов.
Все софизмы можно разделить на:
Рассмотрим все типы. Наиболее обширным и увлекательным типом являются логические софизмы . Одна из самых распространенных логических ошибок, которой пользуются софисты quaternio terminorum , то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы - простые вещества, бронза - металл: бронза - простое вещество» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов).
Вот еще пару примеров
:
Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное
«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» - «Нет». - «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» - «Знаю». - «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».
Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего
Имой любимый софизм, который сломал мне голову еще лет 5 назад:
Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди
Математические софизмы
5 есть 2 + 3 («два и три»). Два - число чётное, три - нечётное, выходит, что пять - число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа нечётные
Я не приводила примеры других математических софизмов, вы можете ознакомиться с ними, однако каждый из них потребует уже подсчетов.
Терминологические
Психологические софизмы
Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма поэтому предполагает два фактора: α - психические свойства одной и β - другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.
