Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Тихоокеанский государственный университет»
ОСНОВЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Краткий курс лекций для студентов инженерно-технических специальностей заочного отделения
Хабаровск
Кафедра АиС ТОГУ
В 20 век в условиях технической и информационной революций, освобождающих людей от выполнения рутинных. Монотонных и тяжелых видов труда, любое производство насыщено средствами механизации и автоматизации. Поэтому в процессе работы инженеру любой специальности приходится участвовать в проектировании, расчете, исследовании системы автоматического регулирования или эксплуатировать объекты, оборудованными такими автоматическими устройствами.
В начале ТАУ создавалось для изучения статистики и динамики процессов автоматического управления объектами – производственными, энергетическими, транспортными и т.п. Основное ее значение сохранилось в наше время.
2. Сущность проблемы автоматического управления и определения понятий
^
2.1. Деятельность и разные виды операций
В русском языке термин « управление» охватывает весьма широкий круг понятий, включающий: верховное правление государством, управление государственной территориальной единицей, отраслью народного хозяйства, предприятием, учреждением, цехом, в общем любым производственным процессом.
Целенаправленную деятельность человека для удовлетворения различных потребностей можно разделить на два класса операций: рабочие операции и операции управления.
К рабочим операциям относят действия непосредственно необходимые для выполнения процесса в соответствии с природными законами, которыми определяется ход процесса (вращение вала двигателя, снятие стружки)
^ Замену труда человека в рабочих операциях называют механизацией , цель которой освобождение человека от тяжелых операций, вредных операций, монотонных.
Деятельность человека
Рабочие операции
Операции управления
Механизация
Автоматизация
Управление объектом - это процесс воздействия на него с целью обеспечения требуемого течения процессов в объекте или требуемого изменения его состояния.
Операции управления – обеспечивают в нужные процессы времени начало, порядок следования и прекращение отдельных операций, заданием нужных параметров самому процессу.
Совокупность управляющих операций образует процесс управления. Оно может включать такие операции, как контроль за правильностью работы устройств, обеспечение безотказности, пуск и остановка, включение резервных вспомогательных устройств, обеспечение требуемых вспомогательных параметров, характеризующих управляемый производственный процесс.
^ Замену труда человека в операциях управления называют автоматизацией , а технические устройства, выполняющие операции управления – автоматическими устройствами. Выполнение всех операций по управлению без непосредственного участия человека называется автоматическим управлением , а система реализующая его – системой автоматического управления (САУ) .
Система, в которой автоматизирована только часть управленческих операций, а другая их часть (обычно наиболее ответственная) выполняется людьми, называется автоматизированной системой управления (АСУ).
^
2.2. Объект управления и воздействия
Возмущающие воздействия
Управляющие
Воздействия
Выходные
Величины
^ Объект управления – совокупность технических средств – машин, орудий труда, средств механизации, выполняющие данный процесс .
Внешняя среда реально оказывает на каждый объект управления многочисленные воздействия, и если бы объект обладал «конструктивной жесткостью» и «динамической прочностью» (выполнение функций с требуемой точностью, несмотря на инерционные свойства и неизбежные помехи), потребности в автоматическом регулировании не возникает.
Все воздействие на объект учесть практически невозможно, поэтому в поле зрения остаются лишь те, которые оказывают наибольшее влияние на выходные величины и называют их входными воздействиями. Входные воздействия с точки зрения их влияния на действия объекта, на его выходные величины разделяют на две принципиальные группы. Те, которые обеспечивают желаемое изменение поведения объекта, называют управляющими. При их отсутствии задача управления вообще не имеет решения. При ручном управлении воздействие на объект организует оператор, а при автоматическом – управляющее устройство. Те воздействия, которые мешают достижению цели, и изменить их, как правило, невозможно, называют возмущающими.
Задача управления, по существу заключается в формировании такого закона изменения управляющих воздействий, при котором достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия возмущений.
^
3. Задачи теории автоматического управления
Основными задачами ТАУ являются исследования статических и динамических свойств автоматических систем и разработка систем, удовлетворяющих заданным техническим требованиям.
В ТАУ исследуется две основные задачи:
Анализ систем автоматического управления
Синтез систем автоматического управления.
Первая из них, задача анализа, состоит в исследовании процесса работы определенной системы автоматического управления с заданной структурой и элементами при различных параметрах элементов и различных видах воздействий на систему. В задачу анализа входит исследование устойчивости систем, исследование динамических и статических отклонений, происходящих при процессах управления.
Вторая задача, синтез, является более сложной и состоит в построении системы автоматического управления; в нее входит выбор схемы управляющего устройства, его элементов и их параметров.
Теоретически любую САР можно рассматривать как систему преобразования задающих и возмущающих сигналов в сигнал выходных величин.
Пусть Х = (x 1 , x 2 …., x n ) – совокупность управляемых координат процесса (выходных величин) , Z = (z 1 , z 2 …., z n ) - возмущающие воздействия, U = (u 1 , u 2 …., u n ) - управляющие воздействия.
Величины X, U, Z в зависимости от природы объекта связаны различными математическими зависимостями. В общем случае
X = W (Z,U), (1)
Где W– оператор, определяющий вид зависимости.
Задача анализа: Заданы Z,U и W и требуется найти X. Это обычно пассивная задача, здесь требуется осуществить лишь X без вмешательства в ход процесса.
Задача синтеза: Носит активный характер. - заданы U,Z и желаемый вид X, требуется найти такой W, чтобы удовлетворить требование к X.
Синтез активного управления: Заданы W и желаемый вид X. Требуется найти такое U, чтобы X удовлетворила поставленным требованиям.
^
3.1. Задачи линейной ТАР:
Сложная и разносторонняя задача управления, в подавляющем большинстве случаев, включает узкую задачу регулирования. Так как автоматическое регулирование в настоящие время имеет практическое значение, поэтому мы будем рассматривать в дальнейшем ее.
Любой производственный процесс характеризуется рядом показателей – регулируемых параметров .
Автоматическое обеспечение требуемых значений регулируемых параметров, определяющих ход производственного процесса в объекте регулирования по заранее заданному закону, называется автоматическим регулированием, которое обеспечивается системой автоматического регулирования (САР). Раздел ТАУ, занимающийся этим называется ТАР. В нашем курсе «Основы теории автоматического управления» мы будем касаться следующих задач ТАР.
^
4. Назначение систем автоматического регулирования (С А Р)
. В самих названиях кроется назначение, различия видны из вида задающей функции.
Стабилизирующая автоматическая система управления – это система, предназначенная поддерживать постоянным какой-либо параметр объекта.
Программная автоматическая система предназначена изменять значение управляемой величины в соответствии с заранее известной функцией времени (хотя может менять другие параметры).
Следящая автоматическая система предназначена для изменения управляемой величины в соответствии с изменением другой величины, которая действует на входе системы и закон изменения которой заранее неизвестен.
В стабилизирующих, программных и следящих системах цель управления заключается в обеспечении равенства или близости управляемой величины ее заданному значению, осуществляемое поддержанием x(t) » x з (t), называется регулированием
.
^
5. Принципы построения САР (Фундаментальные принципы управления)
Принцип автоматического регулирования определяет, как и на основе какой информации формируется управляющее воздействие. Одним из основных признаков, характеризующих принцип регулирования, является рабочая информация, необходимая для выработки управления воздействия и структура цепи передачи воздействий в системе.
^
5.1. Принцип разомкнутого управления
Сущность принципа заключается в том, что алгоритм управления вырабатывается только на основе алгоритма функционирования и не контролируется другими факторами-возмущениями или выходными координатами процесса. Функциональная схема показана ниже
Близость Х и Х о обеспечивается только конструкцией и подбором физических закономерностей, действующих в элементах. Несмотря на очевидные недостатки принцип используется довольно широко. Элементы, входящие в разомкнутую цепь входит в состав любой системы, поэтому принцип представляется настолько простым, что его не всегда выделяют как один из фундаментальных принципов.
x
З (t
)
- задает алгоритм функционирования.
К элементам разомкнутого типа можно отнести:
Логические элементы и, или, не, датчики программы и сам программный механизм, т.е. устройство пуска и, например, программированный кулачковый механизм счетно-решающие элементы.
^
5.2. Принцип регулирования по возмущению (компенсации)
Состоит в том, что из различных возмущений, действующих в системе, выбирается одно главное, на которое реагирует САР. В этом случае компенсируется внешнее влияние на регулируемый параметр только основного возмущающего воздействия, и управляющее воздействие вырабатывается в системе в зависимости от результатов изменения основного возмущения, действующего на объект.
Недостатки:
Применение ограничено объектами, характеристики которых известны.
Поскольку система, по сути, разомкнутая, появляются отклонения управляемой величины с изменением характеристик объекта и элементов системы
Устраняются воздействия, по которым созданы компенсационные каналы.
^
5.3. Принцип регулирования по отклонению (принцип Ползувова-Уатта)
Достоинства:
1) Уменьшает отклонение регулируемой величины не зависимо от факторов вызвавших это отклонение.
2) Менее чувствителен к изменениям параметров элементов системы по сравнению с разомкнутыми системами.
Недостатки:
1) В простых одноконтурных системах нельзя достичь абсолютной инверсности.
2) Возникает проблема устойчивости.
Управляющее (регулирующее) воздействие вырабатывается на основании разности регулируемой и задаваемой величин. Единственным образом заданная связь называется главной. Регулируемый параметр через главную обратную связь подается на вход регулятора с обратным знаком по отношению к q(t). Поэтому главная связь считается отрицательной.
Отрицательная черта замкнутой системы ее универсальность. Любое отклонение регулируемого параметра от заданного значения вызывает появление управляющего воздействия независимо от числа, вида и места приложения возмущений.
В системах, работающих по принципу отклонения для формирования управляющего воздействия необходимо наличие ошибки. Само по себе это является недостатком, так как именно ошибку требуется изменить регулятором. При управлении сложными инерционными объектами, когда управляющее воздействие не может вызвать мгновенного изменения регулируемого параметра, возникающая ошибка может иметь недопустимо большое значение.
^
5.4. Комбинированное регулирование
Каждый из рассмотренных выше примеров имеет свои достоинства и недостатки. Поэтому для создания автоматических систем высокой точности обычно используют принцип комбинированного регулирования, сочетающий в себе оба принципа. 
В комбинированной системе внешнее воздействие компенсируется регулирующим воздействием в соответствии с его изменением, а воздействие по отклонению используется для устранения погрешностей, возникающих в результате неточности регулирования.
^
5.5. Принцип адаптации
Принципы адаптации (приспособление) используется в самонастраивающихся САР. Особенностью их является то, что они автоматически приспосабливаются к изменяющимся условиям работы и автоматически выбирают оптимальный закон регулирования. Рассмотренные ранее САР с неизменной настройкой регулируемого параметра, в которых процесс регулирования сводится к ликвидации отклонения, не могут обеспечить нормальную работу объекта регулирования, если его статические и динамические характеристики изменяются во времени. В таких случаях необходимо изменить или настройки регулятора, или характеристики и параметры отдельных элементов системы, или схему элементов, или даже вводить в действие новые элементы.
ЛЕКЦИЯ № 2
Типовые входные воздействия и характеристики звеньев.
^
1. Воздействие и их виды.
Как отмечалось выше, САР имеет место управляющие (задающие) и возмущающие воздействия, в результате действия которых в системе возникает переходной процесс, приводящий систему к новому установившемуся состоянию. В реальных условиях воздействия могут иметь произвольный характер. Для исследования динамических свойств элементов и систем выбирают такие типовые воздействия, которые по возможности близко отражали бы наиболее существенные особенности реальных воздействий. Такими воздействиями могут быть либо наиболее вероятные
, либо наиболее неблагоприятные воздействия
. Причем их можно разделить на регулярные и случайные, непрерывные и дискретные.
Для анализа выбраны типовые воздействия наиболее полно и иллюстративно показывающие особенности выбранных звеньев. В качестве типовых приняты ступенчатое, гармоническое, линейно возрастающее.
Единичный скачок может возникнуть при мгновенном замыкании или размыкании сети постоянного тока, вызванном приложением или сбросом нагрузки.
Единичное ступенчатое воздействие
.
Единичное импульсное воздействие
так, что 
.
Гармоническим воздействием называют функцию, изменяющуюся по закону синуса или косинуса. Оно используется при анализе динамических свойств САР частотными методами. Частотный метод заключается в построении частотных характеристик.
x (t ) = 1 (t ) x m sin w t .
Для следящих и программных систем типовым является линейное воздействие
x (t ) = 1 (t ) at .
Режимы перехода САУ из одного состояния к другому показанына рисунке.
^
2. Временные характеристики
Наглядное представление о свойствах звена дает функция, являющаяся решением дифференциального уравнения . Но одно и то же дифуравнение может иметь множество решений, конкретный вид которых зависит от начальных условий и от характера функции, задающей воздействие. Поэтому принято динамические свойства элементов систем характеризовать решением, соответствующим нулевым начальным условиям и одному из типовых воздействий, рассмотренных выше. Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная характеристика.
Переходной характеристикой h(t) называют изменение выходной величины, возникающее после подачи на вход скачкообразного изменения входной величины при нулевых начальных условиях.
^ Импульсной переходной характеристикой w(t) называют изменение выходной величины, возникающее после подачи на вход дельта-функции при нулевых начальных условиях.
Импульсная переходная характеристика равна производной от переходной характеристики
w (t ) = dh (t )/ dt ,
И наоборот, переходная характеристика равна интегралу от импульсной переходной характеристики.
Переходные характеристики и называют также временными.
^
3. Частотные характеристики
Частотными характеристиками называются зависимости, связывающие входную и выходную величины линейной системы в установившемся режиме, когда входное воздействие изменяется по гармоническому закону x(t) = a sin wt с частотой и постоянной амплитудой a. На выходе системы после завершения переходного процесса устанавливается синусоидальные колебания y(t) = b sin(wt + j) . На комплексной плоскости входная и выходная величин для каждого момента времени t определены векторами а и b.
В комплексной тригонометрической форме
X = a(cos wt + j sin wt)
Y = b.
Используя формулу Эйлера e jwt = cos wt + j sin wt, получим
X(t) = ae jwt ; y(t) = be j(wt+ j) .
Если амплитуду колебаний входной величины оставить неизменной, а изменять частоту w от нуля до ¥, то каждому значению частоты будут соответствовать определенные значения амплитуды колебаний b и сдвига фазы j на выходе системы. Это значит, что отношение амплитуд и разность фаз являются функциями частоты, т.е:
B/a = A(w); j = j(w).
Рассмотренные выше временные, передаточные и частотные характеристики однозначно связаны меду собой прямым и обратным преобразованиями Лапласа и Фурье. Это отражено в таблице.
Таблица.
Взаимные соответствия динамических характеристик.
| Характер-ки | h(t) | w(t) | W(p) | W(j w ) |
| Переходная h(t)=
|
| L
-1
{W(p)/p}
| F
-1
{W(j
w
)/ j
w
}
|
|
| Импульсная w(t)=
| dh(t)/dt
| L
-1
{W(p)}
| F
-1
{W(j
w
)}
|
|
| Передаточная W(p)=
| pL{h(t)}
| L{w(t)}
| W(j
w
)
½ p=j
w
|
|
| Частотная W(j
w
)=
| j
w
F{h(t)}
| F{w(t)}
| W(p)
½ p=j
w
|
Алгоритмическая структура любой САУ представляет собой комбинацию трех типовых соединений звеньев; последовательного, паралельного и встречно-паралельного (охват обратной связью), как показано на рисунке.
Последовательным соединением называют такое соединение, в котором выходная величина каждого предыдущего элемента является входным воздействием для последующего элемента. Поскольку для каждого i-го элемента уравнения статики запишется
y i = k i y i -1 , ()
То общий коэффициент передачи последовательно соединенных звеньев равен произведению их передаточных коэффициентов
. ()
Соответственно эквивалентная передаточная функция последовательного соединения из n звеньев равна произведению n передаточных функций звеньев
. ()
Параллельным соединением называют такое соединение, при котором на вход всех звеньев поступает одно и то же воздействие, а их выходные величины суммируются. Согласно этому определению
x = x 1 = … = x i = …=x n , ()
y = y 1 + … + y i + …+ y n , ()
y
i
= k
i
x
i
, ()
то общий коэффициент передачи параллельно соединенных звеньев равен сумме их передаточных коэффициентов
. ()
Соответственно эквивалентная передаточная функция параллельного соединения из n звеньев равна сумме n передаточных функций звеньев
. ()
Встречно-параллельным соединением двух звеньев (соединением с обратной связью) называют такое соединение, при котором выходной сигнал первого звена поступает на вход второго, а выходной сигнал второго элемента суммируется с общим входным сигналом. Первое звено называется звеном прямой цепи, а второй элемент – звеном обратной связи. В зависимости от знака сигнала обратной различают положительные и отрицательные обратные связи. Согласно определению понятия обратной связи можно записать уравнения:
Прямой связи
y П = k П x П , ()
Обратной связи
y о.с. = k о.с y , ()
И узла суммирования
. ()
Подставляя, получаем уравнение статики соединений с обратной связью
. ()
Отсюда получим
. ()
общий коэффициент передачи звена, охваченного обратной связью, равен коэффициенту прямой цепи, разделенному на единицу плюс произведение коэффициентов прямой и обратной связи.
Причем знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «-» – положительной.
Соответственно эквивалентная передаточная функция соединения с обратной связью равна
()
Где знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «-» – положительной.
ЛЕКЦИЯ № 3
ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
a 0 y"" (t) + a 1 y" (t) + a 2 y(t) = b 0 x" (t) + b 1 x(t). (1)
Принято приводить уравнение звена к стандартному виду в символической записи:
Где T 2 2 =a 0 /a 2 ; T 1 = a 1 /a 2 ; t =b 0 /b 1 - постоянные времени; k = b 1 /a 2 .
Вспомним, как можно получить характеристики звеньев:
Статические, приравнивая производные по времени к нулю,
Динамические: … .
W(p) = R(p) /Q(p) =k(tp+1)/(T 2 2 p 2 +T 1 p +1) , (2)
Для получения переходной характеристики h(t) ищется общее решение, состоящее из двух частей. Импульсная характеристика является производной по времени от переходной характеристики w(t) = dh(t)/dt .
Из общего вида уравнения или передаточной функции можно сделать некоторые выводы о свойствах звеньев. Если коэффициенты a 2 и b 1 не равны нулю, то такие звенья называются статическими или позиционными, что говорит о наличии уравнения статики . В противном случае звенья являются астатическими n-го порядка, где n – это степень при операторе дифференцирования, характеризующего астатизм звена или системы.
Ряд звеньев называются элементарными, а именно безынерционные, идеально дифференцирующие и идеально интегрирующие.
виде
^
2. Обзор и примеры
Таблица 3.1
Таблица 3.2Временные характеристики позиционных звеньев
Таблица 3.6
Временные характеристики дифференцирующих звеньев
^
3. Применения звеньев
ЛЕКЦИЯ № 4
^
УСТОЙЧИВОСТЬ систем управления
4.1. Понятие, виды и общее условие устойчивости
Одной из важнейших характеристик автоматической системы управления наряду с точностью является устойчивость. Причем, если показатели точности определяют степень полезности и эффективности системы, то от устойчивости зависит работоспособность системы. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в теории автоматического управления.
Раскроем физический смысл понятия «устойчивость». Устойчивость автоматической системы - это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.
Неустойчивость автоматических систем управления возникает, как правило, из-за неправильного или очень сильного действия главной обратной связи. Неправильное действие главной обратной связи имеет место обычно в тех случаях, когда из-за ошибки, допущенной при монтаже системы, связь оказывается положительной (вместо отрицательной), что практически при любых параметрах делает систему неустойчивой. Возникающую при этом неустойчивость называют статической .
Более сложным и более распространенным видом неустойчивости является динамическая неустойчивость. Она проявляется системах с отрицательной обратной связью, при достаточно большом значении передаточного коэффициента разомкнутого контура и при количестве инерционных звеньев, не меньшем трех. Причиной динамической неустойчивости обычно является значительная инерционность элементов замкнутого контура, из-за ко-торой в режиме колебаний системы сигнал главной обратной связи значительно отстает от входного сигнала и оказывается с ним в фазе. Это означает, что связь, выполненная конструктивно как отрицательная (в статическом режиме!), в динамике (в режиме гармонических колебаний) проявляется на определенной частоте как по-ложительная.
Рассмотрим математическую сущность устойчивости и неустой-чивости. Согласно данному выше физическому определению устой-чивость зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы опи-сывается однородным дифференциальным уравнением
a 0 х (n ) (t )+ a n -1 х (n -1 ) (t )+…+ a n -1 х ¢(t )+ a n х(t )= 0. (4.1)
Где х(t ) = х c (t ) - свободная составляющая выходной величины системы.
Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения, на устойчивость системы не влияет.
Дадим математическое определение понятия «устойчивость». Система является устойчивой, если свободная составляющая х c (t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю , т. е. если
, (4.2)
А если свободная составляющая неограниченно возрастает , т. е. если
, (4.3)
То система неустойчива . Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости .
Очевидно, что при этом выходная величина системы будет стре-миться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воз-действием и правой частью уравнения. Такую устойчивость принято называть асимптотической .
Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (8.1), устойчива. Решение уравнения равно сумме
, (4.4)
Где C k - постоянные, зависящие от начальных условий; p k - корни характеристического уравнения
a 0 p n + a n-1 p n-1 +…+ a n-1 p+ a n = 0. (4.5)
Корни характеристического уравнения могут быть действи-тельными (p k = a k), мнимыми (p k = j b k) и комплексными p k = a k + j b k , причем комплексные корни всегда попарно сопряжены между со-бой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обяза-тельно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью.
Переходная составляющая (8.4) при t ® ¥ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида С k е a kt ® 0. Ха-рактер этой функции времени зависит от вида корня р k . Рассмот-рим все возможные случаи расположения корней р k на комплекс-ной плоскости (рис. 8.1) и соответствующие им функции x k (t ), ко-торые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа).
Рис. 4.1.
Влияние корней характеристического уравнения системы на со-ставляющие ее свободного движения
1. Каждому действительному корню р
k =
a
k в решении (8.4) соответствует слагаемое вида
x k (t ) = С k е a kt . (4.6)
Если a k < 0 (корень р 1 ), то функция (8.6) при t ®¥ стремится к нулю. Если a k > 0 (корень р 3 ), то функция неограниченно возрастаег. Если a k = 0 (корень р 2 ), то эта функция остается по-стоянной.
2. Каждой паре сопряженных комплексных корней p k = a k + j b k и p k = a k - j b k в решении (8.4) соответствуют два слагаемых, которые могут быть объединены в одно слагае-мое
x k (t ) = С k е a kt sin(b k t + j k). (4.7)
Функция (8.7) представляет собой синусоиду с частотой b k и ам-плитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Если действи-тельная часть двух комплексных корней a k (см. рис. 4.1, корни р 4 и р 5 ) то колебательная составляющая (8.7) будет затухать. Если a k > 0 (корни р 8 и р 9 ), то амплитуда колебаний будет неограни-ченно возрастать. Наконец, если a k == 0 (корни р 6 и р 7), т. е. если оба сопряженных корня -мнимые ( p k = j b k , p k = - j b k), то x k (t ) представляет собой незатухающую синусоиду с частотой b k .
Если среди корней характеристического уравнения (4.5) имеются l равных между собой корней p l , то в решении (8.4) вместо l слагае-мых вида С k е a kt появится одна составляющая
(C
0 +
C
1
t
+
C
2 t
2 +…+
a
l
-1
t
l
-1
) 
=
0. (4.8)
Учитывая, что функция вида е - bt при любом b убывает быстрее, чем возрастают слагаемые вида t r , можно доказать, что и в случае кратности корней решение (4.4) будет стремиться к нулю лишь при отрицательности действительной части кратных корней p l .
На основании проведенного анализа можно сформулировать общее условие устойчивости:
для устойчивости линейной автоматической системы управле-ния необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрица-тельными.
Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то система будет неустойчивой. Устойчивость системы зависит только от вида корней характе-ристического уравнения и не зависит от характера внешних воз-действий на систему. Устойчивость есть внутреннее свойство си-стемы, присущее ей вне зависимости от внешних условий .
Используя геометрическое представление корней на ком-плексной плоскости (см. рис. 4.1) в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего условия устойчивости (эквивалентную основной):
для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.
Мнимая ось j b является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (p k = +j b , p k + i = -j b k), а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой w = |b k |. В этом случае говорят, что система находится на колеба-тельной границе устойчивости .
Точка b = 0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости . Если таких корня два, то система неустойчива.
Не следует забывать, что линейные урав-нения реальных систем типа (4.1), как правило, получаются в результате упрощений и линеаризации исходных нелинейных уравнений. Возникает во-прос: в какой мере оценка устойчивости по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы, не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при ли-неаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским ма-тематиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему: если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости реальной системы по линеари-зованному уравнению нельзя. Таким образом, для суждения об устойчивости линейной си-стемы достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения.
В теории автоматического управления разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая ха-рактеристическое уравнение и не находя числовые значения са-мих корней. Эти правила называются критериями устойчивости .
Критерии устойчивости могут быть алгебраическими и частот-ными. Алгебраические критерии устанавливают необходимые и до-статочные условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов ха-рактеристического уравнения . Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характе-ристик системы .
При анализе устойчивости систем управления обычно решают одну или несколько задач:
Наиболее распространены в инженерной практике критерии Гурвица и Рауса.
^ Критерий Гурвица был сформулирован и доказан в 1895 г. не-мецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой кри-терий, решая чисто математическую задачу - задачу исследова-ния устойчивости решений линейного дифференциального уравне-ния. Применительно к задачам теории управления критерий Гур-вица можно сформулировать так:
автоматическая система, описываемая характеристическим урав-нением 8.5 устойчива, если при а 0 > 0 положительны все определители D i вида
(4.9)
(Как составляется определитель матрицы i * i ).
Если хотя бы один из определителей (4.9), называемых опреде-лителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.
Так как последний столбец главного определителя D n содер-жит всегда только один элемент a n , отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей D n = a n D n -1 .
Если главный определитель D n == 0, а все остальные определи-тели положительны, то система находится на границе устойчивости . С учетом выражения (4.12) это условие распадается на два: a n = 0 и D n -1 = 0.
Условию а n . = 0 соответствует один нулевой корень, т. е. апе-риодическая граница устойчивости , а условию D n -1 = 0 - пара мнимых корней, т. е. колебательная граница устойчивости .
Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устой-чивости систем не выше пятого порядка. При п > 5 вычисление определителей становится громоздким.
^ Критерий Рауса , предложенный в 1877 г. английским матема-тиком Э. Дж. Раусом, целесообразно использовать при анализе устойчивости систем выше четвертого порядка. Для этого из ко-эффициентов характеристического уравнения (4.5) составляют таблицу (табл. 4.1), в первой строке (i = 1) которой записаны ко-эффициенты уравнения с четными индексами, во второй (i =2) - с нечетными индексами, в последующих строках (i > 3) помещены коэффициенты Рауса, полученные как комбинации коэффициентов двух вышестоящих строк по формуле
r ik = r i -2, k + 1 – (r i - 2, 1 r i -1, k + 1 / r i -1, 1), (4.10)
Где i - номер строки, k - номер столбца. Сам критерий формулируется так: автоматическая система устойчива, если. положительны все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса (включая а 0 и а 1 ).
Таблица 4.1 Коэффициенты Рауса
Если не все коэффициенты столбца положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффици-ентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения. Алгоритм вычисления коэффициентов (4.10) легко запрограмми-ровать, поэтому критерий Рауса используют для анализа систем высокого порядка (n > 5) с помощью ЭВМ.
Преимуществом критериев Гурвица и Рауса является то, что с их помощью можно оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем. Вывод об устойчивости при применении этих критериев делается применительно к той системе (замкнутой или разомкнутой), уравнение которой анализируется.
Недостатком является малая наглядность.
^
8.3. Критерии Михайлова
Критерий Михайлова относится к группе частотных критериев устойчивости. Он был сформулирован и обоснован в 1936 г. совет-ским ученым А. В. Михайловым в работе «Гармонический метод в теории регулирования», которая получила высокую оценку и по-служила началом широкого применения частотных методов в тео-рии автоматического управления.
Критерий Михайлова так же, как критерии Гурвица и Рауса, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэ-тому с его помощью можно судить об устойчивости замкнутых и разомкнутых систем.
Пусть левая часть характеристического уравнения, называе-мая характеристическим полиномом, имеет вид
F(p) = a 0 p n + a n-1 p n-1 +…+ a n-1 p+ a n . (4.11)
Подставим в этот полином вместо переменного р чисто мнимый корень, который в дальнейшем будем обозначать j w. Тогда получим функцию комплексного переменного
F (j w) = a 0 (j w) n + a n-1 (j w) n-1 +…+ a n-1 j w+ a n , (4.12)
Которую можно так же, как амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей:
F (j w) = P (w) + jQ (w). (4.13)
Действительная часть P (w) содержит только четные степени переменного w:
P (w) = a n - a n - 2 w 2 + a n - 4 w 4 - . . . , (4.14)
А мнимая часть Q (w) - только нечетные:
Q (w) = a n -1 w - a n - 3 w 3 + a n - 5 w 5 - . . . . (4.15)
Каждому фиксированному значению переменного w соответст-вует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр w от 0 до ¥, то конец вектора F (j w) опишет некоторую линию (рис. 4.2, a), которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.
Формулировка критерия Михайлова:
автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка, устойчива, если при изменении w от 0 до ¥ характеристический вектор системы F(jw) повернется против часовой стрелки на угол п p/2, не обращаясь при этом в нуль.
Это означает, что характеристическая кривая устойчивой си-стемы должна при изменении w от 0 до ¥ пройти последовательно через п квадрантов. Из выражений (4.14) и (4.15) следует, что кри-вая F (j w) всегда начинается в точке на действительной оси, уда-ленной от начала координат на величину а n .
Характеристические кривые, соответствующие устойчивым си-стемам (рис. 4.2, б),
имеют плавную спиралеобразную форму и ухо-дят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если характеристическая кривая проходит п
квадран-тов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рис. 4.2, в).
Рис. 4.2.
Характеристические кривые (годографы) Михайлова
Если кривая F
(j
w)
проходит через начало координат, то си-стема находится на границе устойчивости. Действительно, если характеристическое уравнение имеет один нулевой корень p
k = 0 (апериодическая граница устойчивости) или одну пару чисто мнимых корней p
k =
± j
b
k (колебательная граница устойчивости), то функция F
(j
w)
при w = 0 или w = b
k обратится в нуль.
В практических расчетах удобно применять следствие из критерия Михайлова : система устойчива, если действительная и мнимая части ха-рактеристической функции F(jw) обращаются в нуль пооче-редно (рис. 8.2, г), т. е. если корни уравнений P(w) = 0 и Q(w) = 0 перемежаются.
Это вытекает непосредственно из формулировки критерия Михайлова - из условия последовательного прохожде-ния кривой F (j w) через п квадрантов.
Критерий Михайлова удобно применять для анализа устойчи-вости систем высокого порядка (п
> 5).
^
4.4. Критерии Найквиста
Критерий был сформулирован в 1932 г. американским физиком X. Найквистом, а обоснован и применен для анализа автоматических систем управления Михайловым А. В.
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура си-стемы. В этом заключается существенное преимущество критерия, так как построение амплитудно-фазовой характеристики разомкну-того контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев. А в тех случаях, когда неизвестно математическое опи-сание нескольких конструктивных элементов системы и оценка их свойств возможна только путем экспериментального определения частотных характеристик, критерий Найквиста яв-ляется единственно пригодным.
Основная формулировка критерия Най-квиста:
автоматическая система управления устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика W(jw) разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1; j0).
Эта формулировка справедлива для систем, которые в разомкнутом состоянии устойчивы. Тако-выми являются большинство реальных систем, состоящих из устой-чивых элементов.
На рис. 4.3, а изображены амплитудно-фазовые характеристики разомкнутого контура, соответствующие трем различным случаям: система устойчива (кривая 1); система находится на колебательной границе устойчивости (кривая 2); система неустойчива (кривая 3).
Критерий Найквиста физически можно интерпретировать следующим образом. Предположим, что на входе системы (рис. 4.3, б) действует гармонический сигнал g
(t
)
== g
m Sin wt
с малой амплитудой g
m . Пусть частота w равна частоте w p , при которой фазовый сдвиг j(j
w), создаваемый звеном W
(j
w), равен - p. Тогда сигнал отрицательной обратной связи окажется в фазе с сигналом g(t),
и мгновенные значения сигналов будут суммироваться.
Рис. 4.3. Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутого контура (а) и физическая трактовка (б) критерия Найквиста
Если на частоте w = w p , модуль | W
(j
w) | = 1 (нет усиления и нет подавления), то в контуре системы будут поддерживаться неза-тухающие колебания даже после исчезновения внешнего воздейст-вия g (t),
т. е. система будет находиться на границе устойчивости. Характеристика W
(j
w) при этом проходит через точку (-1; j
0). Если на частоте w = w p модуль |W
(j
w)| < 1 (подавление есть), то после исчез-новения внешнего воздействия колебания в контуре затухнут, т. е. система устойчива, характеристика не охватывает точку (-1; j
0). Если же модуль |W
(j
w)| > 1 (усиление есть), то амплитуда сигналов в кон-туре будет неограниченно возрастать, т. е. система будет неустой-чивой. Характеристика W
(j
w) в этом случае охватит точку (-1; j
0).
Таким образом, особая роль точки (-1; j 0) заключается в том, что она, во-первых, соответствует превращению отрицательной обратной связи в положительную, и во-вторых, является гранич-ной между режимами усиления и ослабления сигналов звеном W (j w).
^
1. Простейший закон регулирования реализуется при помощи безынерционного звена с передаточной функцией
W p (p)=y(p)/ e (p)= k п = k p . (5.1)
Согласно этому выражению управляющее воздействие и в статике и в динамике пропорционально сигналу ошибки e . Поэтом такой закон регулирования называется пропорциональным (П).
Преимущества П-регулятора - простота и быстродействие, недостатки - ограниченная точность (особенно при управлении объектами с большой инерционностью и запаздыванием).
2. Закон регулирования, которому соответствует передаточная функция
W p (p )= k и /p = k p /T и p (5.2)
Называется интегральным (И). При интегральном законе регули-рования управляющее воздействие у в каждый момент времени про-порционально интегралу от сигнала ошибки e . Поэтому И-регулятор реагирует главным образом на длительные отклонения управ-ляемой величины от заданного значения. Кратковременные откло-нения сглаживаются таким регулятором.
Преимущества интегрального закона - лучшая (точность в установившихся режимах, недостатки - худшие свойства в переходных режимах (меньшее быстродействие и большая колебательность).
3. Наибольшее распространение в промышленной автоматике по-лучил пропорционально-интегральный (ПИ) закон регулирования
W p (p )= k п + k и /p = k p + k p /T и p = k p (T и p + 1)/T и p . (5.3)
Благодаря наличию интегральной составляющей ПИ-закон ре-гулирования обеспечивает высокую точность в установившихся режимах, а при определенном соотношении коэффициентов k п и k и обеспечивает хорошие показатели и в переходных режимах.
4. Наилучшее быстродействие достигается при пропорционально-дифференциальном (ПД) законе регулирования
W p (p )= k п + k д p = k p + k p T д p . (5.4)
ПД-регулятор реагирует не только на величину сигнала ошибки, но и на скорость его изменения. Благодаря этому при управлении достигается эффект упреждения. Недостатком пропорционально-дифференциального закона регулирования является ограниченная точность.
5. Наиболее гибким законом регулирования (в классе линейных законов) является пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) закон
W p (p )= k п + k и /p + k д p = k p (T и p + 1 + T и T д p 2 )/T и p , (5.5)
Который сочетает в себе преимущества более простых законов.
Коэффициенты и постоянные времени, входящие в передаточ-ные функции типовых регуляторов, называются настроечными па-раметрами и имеют следующие наименования: k п , k и, k д - ко-эффициенты пропорциональной, интегральной и дифференциаль-ной части; k p - передаточный коэффициент регулятора; T и - постоянная времени интегрирования; T д - постоянная времени дифференцирования.
Параметры, входящие в различные записи (5.1) и (5.5) ПИД-закона, связаны между собой соотношениями:
k
п =
k
p
;
k
и = k
p /
T
и
;
k
д =
k
p
T
д. (5.6)
^
5.2. Виды точностей работы САУ
Статической системой управления называется система, объект и регулятор которой являются статическими элементами , т. е.
W о (0) = k о и W p (0) = k p . (5.7)
Подставляя в уравнения динамики регулируемой величины (4.15) и для ошибки (4.24) одноконтур-ной системы р == 0 и полагая для простоты x п = 0 и x в = 0,получим уравнения статики статической системы:
Для управляемой величины
x = x з k p k о (1 + k p k о) + y в k о (1 + k p k о); (5.8)
Для сигнала ошибки
e = x з (1 + k p k о) -1 - y в k о (1 + k p k о) -1 . (5.9)
Первое слагаемое в правой части уравнения (4.32) характери-зует статическую ошибку по задающему воздействию, второе - статическую ошибку по возмущению. Обе эти ошибки тем больше, чем больше внешние воздействия, и тем меньше, чем больше знаме-натель (1 + k p k о). Следовательно, точность статической системы тем лучше, чем больше переда-точный коэффициент разомкнутого контура.
Точность статической системы принято оценивать коэффициен-том статизма
S == Dх з /Dх р, (5.10)
Где Dх р - отклонение управляемой величины х от заданного зна-чения, создаваемое возмущением у в = у в0 при разомкнутом кон-туре регулирования; Dх з - отклонение управляемой величины, создаваемое тем же возмущением у в0 в замкнутой системе. Коэффи-циент статизма показывает, во сколько раз отклонение выходной величины управляемого объекта меньше отклонения этой величины неуправляемого объекта (при одном и том же значении возмущаю-щего воздействия). Очевидно, что Dх р =Dy в0 k o и Dх з = Dy в0 k o /(1 + k p k о). Отсюда коэффициент статизма
S == (1 + k p k о) -1 == (1 + k ) -1 , (5.11)
Где k = k p k о - передаточный коэффициент разомкнутого контура.
Точность статической системы считается удовлетворительной, если коэффициент S
= 0,1 -0,01. Следовательно, общий переда-точный коэффициент разомкнутого контура статической системы должен находиться в диапазоне 10 -100
^
5.3. Понятие и показатели качества управления
Качество автоматической системы управления определяется совокупностью свойств, обеспечиваю-щих эффективное функционирование как самого объекта управле-ния, так и управляющего устройства, т. е. всей системы управле-ния в целом. В теории автоматического управления термины «качество управления» исполь-зуют в узком смысле: рассматривают только статические и динамические свойства системы
. Такие свойства системы,
выраженные в количественной форме,
называют показателями качества управления
. Эти свойства предо-пределяют точность поддержания управляемой величины на заданном уровне в установившихся и пе-реходных режимах
, т. е. обеспечивают эффективность процесса управления.
В частности, нами была рассмотрена точность системы в установившихся режимах . Теперь мы будут рассматривать показатели качества, характеризующие точность системы в переходных режимах .
Точность системы в переходных режимах оценивают при помощи прямых и косвенных показателей. Прямые показатели определяют по графику переходного процесса, возникающего в системе при ступенчатом внешнем воздействии. Косвенные показатели качества определяют по распределению корней характеристического урав-нения или по частотным характеристикам системы.
К особой категории показателей качества относятся так назы-ваемые интегральные оценки , которые вычисляют либо непосредст-венно по переходной функции системы, либо по коэффициентам передаточной функции системы.
Вспомним, по лекции точность системы в переходных режимах определяется величи-нами отклонений управляемой переменной х(t ) от заданного зна-чения х з (t) и длительностью существования этих отклонений. Ве-личина и длительность отклонений зависят от характера переход-ного процесса в системе. Характер переходного процесса в свою очередь зависит как от свойств системы, так и от места приложения внешнего воздействия.
При самой общей оценке качества обращают внимание прежде всего на форму переходного процесса. Различают следующие типовые переходные процессы (рис. 5.1): колебатель-ный (кривая 1), монотонный (кривая 2) и апериодический (кривая 3).
Рис. 5.1. Типовые переходные процессы:
а -
по заданию; б-по возмущению
Каждый из трех типовых процессов имеет свои преимущества и недостатки, и предпочтение той или иной форме процесса делают с учетом особенностей управляемого объекта. Так, например, в электромеханических объектах со сложными кинематическими пе-редачами (лифты
, экскаваторы, подъемные установки) нежелательны рез-кие знакопеременные усилия, и поэтому при выборе настроек си-стем управления такими объектами стремятся к апериодическим и монотонным процессам. В рассмотренной нами системе управления обогатительным аппаратом допустимы колебательные переход-ные процессы, так как кратковременные отклонения управляемых величин не ухудшают существенно показатели обогащения.
^
10.2. Прямые показатели.
Рассмотрим основные показатели качества управления приме-нительно к типовой одноконтурной системе регулирования.
На графиках переходных процессов, вызванных ступенчатым изменением задающего воздействия х
з (t
) (рис. 5.2, а
) и возмущения у
в, действующего на входе объекта (рис. 5.2, б
), за начало отсчета для выходной величины х
(t
) принято значение х
(- 0), которое было до подачи ступенчатого воздействия.
Рис. 5.2. Прямые показатели качества процесса регулирования:
А-по каналу задания; б-по
каналу возмущения
Одним из главных прямых показателей качества является перерегулирование s (%
),
которое равно отношению первого макси-мального отклонения управляемой переменной х(t)
от ее устано-вившегося значения х(¥
) к
этому установившемуся значению (см. рис. 5.2, а
):
s = 100 (х м - х (¥)) / х (¥) = 100 A 1 / х (¥). (5.1)
Качество управления считается удовлетворительным, если пе-ререгулирование не превышает 30-40 %.
Для переходных процессов, вызванных возмущающим воздейст-вием у в на входе объекта (см. рис. 5.2, б), перерегулирование можно определять как отношение второго (отрицательного) макси-мального отклонения А 2 к первому максимальному отклонению A 1:
s = 100 А 2 / (х м - х (¥)) = 100 А 2 / A 1 . (5.2)
Показатель, вычисляемый по данной формуле для переходных процессов по каналу возмущения, называют также колебатель-ностью .
Другой важной характеристикой таких процессов служит динамический коэффициент регулирования R д (%) , который равен отношению первого максимального отклонения х м к отклонению выходной переменной х (t ) нерегулируемого объекта, вызванному тем же возмущением, т.е.
R д = 100 х м / k o . (5.3)
Коэффициент R д показывает, насколько эффективно компенси-рующее действие регулятора на объект.
Отметим, что и само первое максимальное отклонение х м , воз-никающее от возмущения на входе объекта, является показателем качества. При формировании требований к системе указывают до-пустимое значение максимального отклонения.
Длительность существования динамических отклонений управ-ляемой величины х (t
)
х
(¥) принято оценивать с помощью нескольких характерных моментов времени. Самым важным из этой группы показателей является длительность переходного процесса (время регулирования) t
п
-
интервал времени от момента приложения ступенчатого воздейст-вия до момента, после которого отклонения управляемой величины х(t
)
от ее нового установившегося значения х
(¥) становятся меньше некоторого заданного числа d п, т. е. до момента, после ко-торого выполняется условие | х(t) - х
(¥) | < d п. В промышленной автоматике величину d п принимают обычно равной 5 % от установившегося значения х
(¥) . При оценке длительности переходных процессов, вызванных еди-ничным возмущающим воздействием у
в на входе объекта (см. рис. 5.2, б), величину d п можн принимать равной 5 % от значения передаточного коэффициента объекта k
o ,"fr":["JGHiExQGxqo"]}
